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Harmonische Teilung: Definition

Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung

  • erfüllt ist.

Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.
Liegt rechts von , so liegt rechts von .
Liegt links von , so liegt links von .

Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass die Strecke innen und außen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverhältnisse und den gleichen Betrag haben und das Doppelverhältnis gleich −1 ist.

Da die obige Gleichung sich auch so

schreiben lässt, teilen auch die Punkte die Strecke harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade.

Zeichnerische Bestimmung der TeilpunkteBearbeiten

Mit den StrahlensätzenBearbeiten

 
Harmonische Teilung: Konstruktion mit Strahlensätzen

Sind die Strecke   und der Teilpunkt   gegeben, so findet man den vierten harmonische Punkt   (genauer: den 4. Punkt, der mit diesen 3 Punkten zusammen eine harmonische Teilung ergibt) mit Hilfe der Strahlensätze gemäß der nebenstehenden Zeichnung:

  1. Der Punkt   wird beliebig gewählt, die Geraden   und   sind parallel.
  2. Der Punkt   ergibt sich durch die Verbindung von   mit dem gegebenen Teilpunkt  .
  3.   wird nach   übertragen. Die Strecken   und   sind gleich lang.
  4. Der Teilpunkt   ergibt sich durch den Schnitt der Geraden   mit der Geraden  .

Ist der Teilpunkt   gegeben, verfährt man analog in umgekehrter Reihenfolge.

Ist das Teilverhältnis   vorgegeben, muss man den Punkt   so wählen, dass   erfüllt ist.   ergibt sich dann als Schnittpunkt der Gerade   mit  .

Mit Winkelhalbierenden eines DreiecksBearbeiten

 
Harmonische Teilung: Konstruktion mit Winkelhalbierender eines Dreiecks

Sind   die Punkte eines nicht gleichschenkligen Dreiecks, so schneiden die Innenwinkelhalbierende und Außenwinkelhalbierende im Punkt   zwei Punkte   aus der Geraden   aus, sodass die Punkte   die Strecke   harmonisch im Verhältnis   der an   anliegenden Dreiecksseiten teilen (s. Bild). Der Beweis benutzt den Satz über den Kreis des Apollonios.[1] Man beachte, dass   sein muss, s. oben.

Weitere zeichnerische Verfahren zur Bestimmungen des 4. harmonischen Punktes findet man hier.

Rechnerische Bestimmung der TeilpunkteBearbeiten

Rechnerisch ergibt sich die Länge der Strecke  , wenn   und der Teilpunkt   gegeben sind, aus der Formel:

  •  , falls der Nenner   ist (  liegt rechts von  )
 , falls der Nenner   ist (  liegt links von  )

Führt man auf der Geraden durch   Koordinaten   so ein, dass   ist, so ergibt sich die einheitliche Formel

  •  

Beispiele harmonisch liegender Zahlen:

 

Beziehung zum harmonischen Mittel zweier ZahlenBearbeiten

Die letzte Gleichung lässt sich so umformen:

  •  

D. h., das harmonische Mittel der beiden Koordinaten   ist gleich 1.

VerallgemeinerungBearbeiten

  • Vier Punkte   einer affinen oder projektiven Gerade über einem Körper   der Charakteristik   liegen harmonisch, falls das Doppelverhältnis   ist.

Begriffe wie zwischen, innen, außen, Längen, Abstände, die typisch für einen angeordneten Körper mit einer Metrik sind, werden bei dieser Definition nicht benötigt. Die harmonische Lage ist insbesondere also auch für die affine/projektive Gerade über den komplexen Zahlen oder einem endlichen Körper definiert.

Die obige Koordinatisierung ( ) ist im affinen Fall auch über einem beliebigen Körper möglich, sodass die Beziehung   weiterhin gilt.

Schließt man die affine Gerade projektiv durch das Symbol   ab und rechnet mit   in „üblicher“ Weise, so gilt auch in diesem Fall die Formel zwischen   und die vier Punkte   liegen harmonisch, d. h.  .

 
Harmonische Punktepaare: Doppelverhältnis = -1

Die Bedeutung der harmonischen Lage von vier kollinearen Punkten besteht darin, dass es immer eine involutorische projektive Abbildung der Gerade auf sich gibt, die zwei (der vier Punkte) fest lässt und die beiden anderen vertauscht. In der obigen Darstellung erzeugt die lineare Abbildung, die   fest lässt und   auf   abbildet, eine solche Involution. In inhomogenen Koordinaten bewirkt sie:   (Spiegelung am Nullpunkt). D. h.:   sind fix und   werden vertauscht.

Es gilt allgemein:

  • Der vierte harmonische Punkt dreier affiner Punkte, wobei einer der Mittelpunkt des restlichen Punktepaares ist, ist immer der Fernpunkt   (s. Konstruktion des 4. harmonischen Punktes).

Und:

  • Die harmonische Lage von vier Punkten einer projektiven Gerade ist das Analogon zum affinen Begriff Mittelpunkt zweier Punkte.

Weitere harmonische Punktepaare:

Für  , ist das Doppelverhältnis  .

Es gilt:

  • Aus   folgt:  . D. h., die harmonische Lage hängt nur von den beiden Punktepaaren und nicht von ihrer Anordnung ab.

Konstruktion des 4. harmonischen PunktesBearbeiten

 
Konstruktion des 4. harmonischen Punktes
 
Konstruktion des 4. harmonischen Punktes:   ist Fernpunkt
 
Affine Variante der Konstruktion des 4. harmonischen Punktes: Konstruktion des Mittelpunktes M von A,B. (A,B,T sind vorgegeben)

Sind drei Punkte   auf einer Geraden einer projektiven Ebene gegeben, so lässt sich der vierte harmonische Punkt mit   folgendermaßen konstruieren:

  1. Wähle einen Punkt   nicht auf  .
  2. Zeichne die Geraden  .
  3. Wähle einen Punkt   auf der Geraden  .
  4. Die Gerade   schneidet die Gerade   in einem Punkt  . Die Gerade   schneidet die Gerade   in einem Punkt  .
  5. Die Gerade   schneidet   im vierten harmonischen Punkt  .

Man beachte: Die Konstruktion findet in einer projektiven Ebene statt, d. h., je zwei Gerade schneiden sich.

Bemerkung:

  1. Wählt man als Punkt   einen Fernpunkt und   nicht auf der Ferngeraden, so sind in der Zeichenebene (affiner Teil) die Geraden   parallel (s. Bild).
  2. Will man   als vierten harmonischen Punkt zu   konstruieren, so wählt man   frei,   auf der Geraden   und konstruiert  .   ist dann der Schnittpunkt der Geraden   mit  .
  3. Sind   vorgegeben und   Fernpunkte, so ergibt sich die im Bild gezeigte affine Konstruktion des Mittelpunktes   zweier Punkte  . (  bilden ein Parallelogramm!)

Der Beweis der Unabhängigkeit der Konstruktion des vierten harmonischen Punktes von der Wahl der Hilfspunkte ergibt sich in der ersten affinen Variante aus den Strahlensätzen oder einfacher in der zweiten affinen Variante (Konstruktion des Mittelpunktes) daraus, dass 1) sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren und dass 2) bei Parallelprojektion der Mittelpunkt einer Strecke in den Mittelpunkt der Bildstrecke übergeht. Damit ist   unabhängig von der Wahl der Punkte  .

Konstruktion des 4. harmonischen Punktes mit Hilfe eines KreisesBearbeiten

 
Konstruktion des 4. harmonischen Punktes: mit Kreis

Eine weitere affine Variante der Konstruktion des 4. harmonischen Punktes verwendet einen Kreis (Zirkel) und das Lotefällen (Geodreieck):
Es seien die drei affinen kollinearen Punkte   so gegeben, dass   zunächst zwischen   liegt. Gesucht ist der 4. harmonische Punkt   (außen).

  1. Zeichne den Kreis   durch  , dessen Mittelpunkt   auch Mittelpunkt der Punkte   ist.
  2. Errichte in   die Lotgerade   und schneide sie mit dem Kreis  . Ein schnittpunkt sei  .
  3. Konstruiere die Tangente   an den Kreis   im Punkt  . ( ).
  4.   schneidet g im 4. harmonischen Punkt  .

Nähert sich   einem der Punkte  , so auch  . Ist  , so ist   und   der Fernpunkt der Gerade  .

Der Beweis ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke  . (Man beachte, dass man nur die Gleichung   beweisen muss. Das Doppelverhältnis ist dann automatisch −1, da   innerhalb und   außerhalb der Strecke   liegt!) Aus der Ähnlichkeit folgt zunächst die Gleichung:

  •  , wobei r der Radius des Kreises ist.

Diese Gleichung und die Konstruktionsvorschrift (s. Bild) treten auch bei der Spiegelung an einem Kreis auf. (Die Spiegelung am Einheitskreis wird mit komplexen Zahlen durch   beschrieben.) Bei der Spiegelung am Kreis   (s. Bild) werden die Punkte   vertauscht und   sind Fixpunkte (Jeder Punkt des Kreises bleibt fest!).

Falls der Punkt   nicht zwischen den Punkten   liegt, konstruiert man mit Hilfe des Thaleskreises den Berührpunkt   der Tangente   durch   an den Kreis  . Das Lot   von   auf   liefert den 4. harmonischen Punkt  . (Im Bild muss man einfach   und   vertauschen.)

Die hier beschriebene Methode zur Konstruktion des 4. harmonischen Punktes ist ein affiner Sonderfall der folgenden Aussage:

  • Schneidet eine Gerade   einen nichtausgearteten projektiven Kegelschnitt   in zwei Punkten   und ist   ein von   verschiedener Punkt der Geraden  , so ist der zu   gehörige 4. harmonische Punkt   der Schnittpunkt der Polaren zu   (bzgl.  ) mit  .

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Peter Breitfeld: Geometrie. (Memento des Originals vom 12. Mai 2013 im Internet Archive)   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/docs.sfz-bw.de Skript, Störck-Gymnasium, Bad Saulgau 2012