Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man aus einer Menge von $n$ verschiedenen Objekten jeweils $k$ Objekte auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge). Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in der Potenzmenge einer $n$-elementigen Grundmenge.

„49 über 6“ in Deutschland bzw. „45 über 6“ in Österreich und der Schweiz ist z. B. die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl).

Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei natürlichen Zahlen $n$ und $k$ ab. Er wird mit dem Symbol

${\binom {n}{k}}$

geschrieben und als „n über k“, „k aus n“ oder „n tief k“ gesprochen. Die englische Abkürzung nCr für n choose r findet sich als Beschriftung auf Taschenrechnern.

Den Namen erhielten diese Zahlen, da sie als Koeffizienten in den Potenzen des Binoms $x+y$ auftreten; es gilt der sogenannte binomische Lehrsatz:

${\begin{aligned}(x+y)^{n}&={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+\dotsb +{\binom {n}{n-1}}xy^{n-1}+{\binom {n}{n}}y^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\end{aligned}}$

Eine Erweiterung des aus der Kombinatorik stammenden Binomialkoeffizienten stellt der allgemeine Binomialkoeffizient dar, der in der Analysis verwendet wird.

Definition

Diskrete Definition

Für eine komplexe Zahl $n$ und eine nichtnegative ganze Zahl $k$ ist der Binomialkoeffizient „n über k“ auf folgende Weise definiert:

${\begin{aligned}{\binom {n}{k}}&={\frac {n}{1}}\cdot {\frac {n-1}{2}}\dotsm {\frac {n-(k-1)}{k}}\\&={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{k!}}\\&=\prod _{j=1}^{k}{\frac {n+1-j}{j}},\end{aligned}}$

wobei $k!$ die Fakultät von $k$ bezeichnet. Das leere Produkt ($k=0$) ist dabei $1$.

Handelt es sich bei $n$ um eine nichtnegative ganze Zahl mit $n\geq k$, so kann man die aus der Kombinatorik bekannte Definition verwenden:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

Kontinuierliche Definition

Der Binomialkoeffizient ist für Zahlenpaare a und b jenseits von den natürlichen Zahlen auf folgende Weise definiert:

${\binom {n}{k}}\equiv {\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {\Pi (n)}{\Pi (k)\,\Pi (n-k)}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\,\Gamma (n-k+1)}}$

Mit dem griechischen Buchstaben $\Gamma$ wird die Eulersche Gammafunktion ausgedrückt.

Die Gaußsche Pifunktion ist nach Leonhard Euler so definiert:

$\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{x}\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{-1}$

Mit dieser Definition ist folgende Definition nach Karl Weierstrass identisch:

$\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\gamma \,x)\prod _{m=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{m}}\right)\right]$

Somit ist die Gaußsche Pifunktion die kontinuierliche Erweiterung der Fakultät.

Mit dem kleinen Buchstaben $\gamma$ wird die Euler-Mascheroni-Konstante dargestellt:

$\gamma =\sum _{m=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{m}}-\ln \left(1+{\frac {1}{m}}\right)\right]\approx 0{,}5772156649$

Sowohl durch Einsetzen der Eulerschen Pifunktionsdefinition als auch durch Einsetzen der Weierstrassschen Pifunktionsdefinition kommt für den Binomialkoeffizienten diese für positiven Zahlen $n$ universell gültige Produktformel hervor:

${\binom {n}{k}}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)\left(1+{\frac {n-k}{m}}\right)\left(1+{\frac {n}{m}}\right)^{-1}$

positive obere Einträge und für reelle untere Einträge

Eigenschaften

Wird außer $k$ auch $n$ auf nichtnegative ganze Zahlen eingeschränkt, so gilt:

• ${\tbinom {n}{k}}$ ist stets eine nichtnegative ganze Zahl. Ist $k\leq n$, so ist ${\tbinom {n}{k}}\geq 1$, anderenfalls ist ${\tbinom {n}{k}}=0$.
• ${\binom {n}{0}}=1={\binom {n}{n}}$
• ${\binom {n}{1}}=n={\binom {n}{n-1}}$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}\cdot {\binom {n-1}{k-1}}\Leftrightarrow k\cdot {\binom {n}{k}}=n\cdot {\binom {n-1}{k-1}}$
• ${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}$. Für $n=k$ ist der rechte Summand ${\tbinom {n}{k+1}}=0$.

Im allgemeinen Fall reeller oder komplexer Werte für $n$ können einige der hier angeführten Ausdrücke undefiniert im oben angegebenen Sinn werden, falls nämlich $k$ nicht mehr ganz und nichtnegativ sein sollte; das betrifft die Aussagen $1={\tbinom {n}{n}}$, $n={\tbinom {n}{n-1}}$ und ${\tbinom {n}{n+1}}=0$. Es zeigt sich jedoch, dass diese Aussagen korrekt werden, wenn man entsprechend der untenstehenden analytischen Verallgemeinerung über die Betafunktion auch für $k$ komplexe Werte zulässt.

Symmetrie der Binomialkoeffizienten

Ganzzahlige Binomialkoeffizienten sind symmetrisch im Sinne von

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$

für alle nichtnegativen $n$ und $k$.

Beweis

${\begin{aligned}{\binom {n}{n-k}}&={\frac {n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}\\&={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}\end{aligned}}$

Beispiel

${\binom {5}{3}}={\binom {5}{5-3}}={\binom {5}{2}}$

${\binom {5}{3}}={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}={\frac {5!}{3!\cdot 2!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2\cdot 3)\cdot (1\cdot 2)}}={\frac {4\cdot 5}{1\cdot 2}}=10$

${\binom {5}{2}}={\frac {5!}{2!\cdot (5-2)!}}={\frac {5!}{2!\cdot 3!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {4\cdot 5}{1\cdot 2}}=10$

Rekursive Darstellung und Pascalsches Dreieck

Für ganze Zahlen $n$ und $k$ mit $0\leq k\leq n$ lassen sich die Binomialkoeffizienten $\textstyle {\binom {n}{k}}$ auch durch folgende Rekursionsvorschrift ermitteln:

${\binom {n}{0}}=1={\binom {n}{n}}$ für alle $n\geq 0$

${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}$ für alle $n>0$ und für alle $k$ mit $0\leq k<n$

Mit ihrer Hilfe lassen sich leicht alle Binomialkoeffizienten bis zu einer vorgegebenen Schranke für $n$ bestimmen, ein Schema dafür ist das Pascalsche Dreieck: Der rekursive Teil entspricht dort der Tatsache, dass jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen ist.

Beweis:

${\begin{aligned}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}&={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}+{\frac {n!}{(k+1)!\cdot (n-(k+1))!}}\\[.5em]&={\frac {(k+1)\cdot n!}{(k+1)\cdot k!\cdot (n-k)!}}+{\frac {n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!\cdot (n-k)}}\\[.5em]&={\frac {(k+1)\cdot n!}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}+{\frac {n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {(k+1)\cdot n!+n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {n!\cdot ((k+1)+(n-k))}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {n!\cdot (n+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {(n+1)!}{(k+1)!\cdot ((n+1)-(k+1))!}}\\[.5em]&={\binom {n+1}{k+1}}\end{aligned}}$

Den Koeffizienten ${\tbinom {n}{k}}$ findet man dabei in der $n$-ten Zeile an der $k$-ten Stelle (beide ab Null gezählt!):

Pascalsches Dreieck (bis zur 8. Zeile)

Das gleiche Dreieck dargestellt in den ${\tbinom {n}{k}}$-Binomialsymbolen:

${\tbinom {0}{0}}$
${\tbinom {1}{0}}\quad {\tbinom {1}{1}}$
${\tbinom {2}{0}}\quad {\tbinom {2}{1}}\quad {\tbinom {2}{2}}$
${\tbinom {3}{0}}\quad {\tbinom {3}{1}}\quad {\tbinom {3}{2}}\quad {\tbinom {3}{3}}$
${\tbinom {4}{0}}\quad {\tbinom {4}{1}}\quad {\tbinom {4}{2}}\quad {\tbinom {4}{3}}\quad {\tbinom {4}{4}}$
${\tbinom {5}{0}}\quad {\tbinom {5}{1}}\quad {\tbinom {5}{2}}\quad {\tbinom {5}{3}}\quad {\tbinom {5}{4}}\quad {\tbinom {5}{5}}$
${\tbinom {6}{0}}\quad {\tbinom {6}{1}}\quad {\tbinom {6}{2}}\quad {\tbinom {6}{3}}\quad {\tbinom {6}{4}}\quad {\tbinom {6}{5}}\quad {\tbinom {6}{6}}$
${\tbinom {7}{0}}\quad {\tbinom {7}{1}}\quad {\tbinom {7}{2}}\quad {\tbinom {7}{3}}\quad {\tbinom {7}{4}}\quad {\tbinom {7}{5}}\quad {\tbinom {7}{6}}\quad {\tbinom {7}{7}}$

Algorithmus zur effizienten Berechnung

Für ganzzahlige $n$ existiert ein effizienter Algorithmus, der die Produktformel

${n \choose k}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}$

des Binomialkoeffizienten anwendet. Auf Grund des stetigen Wechsels zwischen Multiplikation und Division wachsen die Zwischenergebnisse nicht unnötig an. Zusätzlich sind auch alle Zwischenergebnisse natürliche Zahlen.

Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, berechnet man im Fall $k>n/2$ den Binomialkoeffizienten:

${n \choose n-k}={n \choose k}$

Der folgende Pseudocode verdeutlicht die Berechnung:

binomialkoeffizient(n, k)
1  wenn 2*k > n dann k = n-k
2  ergebnis = 1
3  für i = 1 bis k
4      ergebnis = ergebnis * (n + 1 - i) / i
5  rückgabe ergebnis

Diese Rechenmethode nutzen auch Taschenrechner, wenn sie die Funktion anbieten. Sonst wäre die Rechenkapazität (oftmals für $n=69$) erschöpft. Die Beschriftung der Funktionstaste mit nCr beschreibt die Reihenfolge der Eingabewerte in Infixnotation; zunächst Anzahl der Elemente n, dann die Funktionstaste Combinations, dann Anzahl der gewählten Objekte r (im Artikel mit k bezeichnet).

Die Berechnung nPr (engl. Permutations) berücksichtigt die Permutationen der r Elemente, die Division durch $r!$ unterbleibt:

$P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}$.

Der Binomialkoeffizient in der Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik gibt

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von $k$ Elementen aus $n$ Elementen an. Durch diese Eigenschaft spielt der Binomialkoeffizient eine zentrale Rolle in der Kombinatorik und findet Eingang in die Berechnung und in die Formeln anderer kombinatorischer Größen.

Veranschaulichung mit Mengen

Vergleiche auch: Kombination (Kombinatorik) → Mengendarstellung

Eine andere Interpretation von Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Elementen ist die Anzahl aller $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge.

Sie kann anschaulich etwa so gedeutet werden:

Variante 1

Zunächst zählt man alle $k$-Tupel mit paarweise verschiedenen Elementen, die sich aus der $n$-elementigen Ausgangsmenge zusammenstellen lassen. Es gibt $n$ Möglichkeiten der Wahl des ersten Tupel-Elements. Nach jeder beliebigen Wahl dieses ersten gibt es nur noch $n-1$ Wahlmöglichkeiten für das zweite Element, nach dessen Wahl nur noch $n-2$ für das dritte usw., bis hin zu $n-k+1$ Wahlmöglichkeiten für das $k$-te und letzte Tupel-Element. Die Anzahl aller so zusammengestellten $k$-Tupel ist also das Produkt $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dotsm (n-k+2)\cdot (n-k+1)$ von $k$ Faktoren, das sich mit Hilfe der Fakultät auch als ${\tfrac {n!}{(n-k)!}}$ notieren lässt. Nun sind aber genau je $k!$ der gezählten $k$-Tupel Permutationen voneinander und entsprechen daher ein und derselben $k$-elementigen Teilmenge. Nach Division durch diese „Zähl-Vielfachheit“ ergibt sich also tatsächlich ${\tfrac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\tbinom {n}{k}}$ als die gesuchte Teilmengenanzahl.

Variante 2

Eine andere, symmetrischere Veranschaulichung betont nicht den Akt der Auswahl von $k$ aus $n$ Elementen, sondern den Aspekt der Zerlegung in zwei Teilmengen aus $k$ und $l:=n-k$ Elementen. Angenommen, ein $n=l+k$-elementiges Ausgangstupel bestehe aus $k$ roten und $l$ weißen irgendwie aufgereihten Elementen. Bildet man alle $(k+l)!$ Permutationen dieser Aufreihung, so sind je $k!\cdot l!$ davon farblich ununterscheidbar, denn je $k!$ Permutationen der roten Elemente untereinander ändern nichts an der Farbsequenz, ebenso wenig wie je $l!$ davon unabhängige Permutationen innerhalb der weißen. Es gibt also nur ${\tfrac {(k+l)!}{k!\cdot l!}}={\tbinom {k+l}{k}}={\tbinom {k+l}{l}}$ farblich verschiedene Sequenzen der Länge $k+l$ mit allen möglichen unterschiedlichen Belegungen durch je $k$ rote Elemente. Jede Sequenz lässt sich nun aber eineindeutig einer der $k$-elementigen Teilmengen einer $k+l$-elementigen Menge zuordnen. Dasselbe gilt wegen der Symmetrie von rot und weiß oder von $k$ und $l$ auch für die komplementären $l$-elementigen Teilmengen. Die Gesamtzahl dieser Teilmengen ist damit je ${\tbinom {k+l}{k}}={\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}={\tbinom {k+l}{l}}$.

Erstes Beispiel

Für die Anzahl der möglichen Ziehungen oder Tippscheine beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) gilt:

${\tbinom {49}{6}}=13.983.816\approx 14\ {\text{Millionen}}$

Es gibt hier offensichtlich genau eine Möglichkeit, 6 Richtige zu tippen. ${\tbinom {43}{6}}$ zählt die Möglichkeiten für 0 Richtige, nämlich alle 6 Tipps aus den 43 Falschen zu wählen. Die Anzahl verschiedener Tipps mit 5 Richtigen ergibt sich zu $6\cdot 43=258$, denn es gibt 6 Möglichkeiten, nur 5 der 6 gezogenen Zahlen zu tippen (oder eine davon auszulassen), und dann jeweils $43=49-6$ Möglichkeiten, den ausgelassenen Tipp auf eine der 43 falschen Zahlen zu setzen. Allgemein ergibt sich die Anzahl der verschiedenen Tipps mit $r$ Richtigen bei 6 aus 49 mit derselben Überlegung zu ${\tbinom {6}{r}}\cdot {\tbinom {43}{6-r}}$. Bei 6, 0 und 5 Richtigen fällt kaum auf, dass die verwendeten Faktoren $1={\tbinom {6}{6}}={\tbinom {6}{0}}={\tbinom {43}{0}}$, $6={\tbinom {6}{5}}$ und $43={\tbinom {43}{1}}$ eigentlich einfache Binomialkoeffizienten sind. Die Summe aller genannten Tippzahlen ergibt die Gesamtzahl 13983816 aller möglichen Tipps – das folgt aus der unten angegebenen Vandermondeschen Identität.

Die Wahrscheinlichkeit für 6 mit einem Tipp erzielte Richtige ist also $1/13983816$, die für 5 Richtige ist $258/13983816$. Für 0 Richtige ergeben sich mit $6096454/13983816$ schon etwa 44 %. Die allgemeine Wahrscheinlichkeit ${\tbinom {6}{r}}\cdot {\tbinom {43}{6-r}}/{\tbinom {49}{6}}$ für $r$ Richtige ist ein Spezialfall der hypergeometrischen Verteilung, die gerade drei Binomialkoeffizienten derart kombiniert.

Zweites Beispiel

Ein weiteres Beispiel behandelt einen Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus insgesamt ${\color {red}\mathrm {a} }$ roten, ${\color {green}\mathrm {b} }$ grünen und ${\color {blue}\mathrm {c} }$ blauen Murmeln genau ${\color {Red}\mathrm {d} }$ rote, ${\color {Green}\mathrm {e} }$ grüne und ${\color {Blue}\mathrm {f} }$ blaue Murmeln gezogen werden, wobei insgesamt $\mathrm {d} +\mathrm {e} +\mathrm {f}$ Murmeln herauszunehmen sind, hat folgenden Wert:

$P={\binom {\color {red}a}{\color {Red}d}}{\binom {\color {green}b}{\color {Green}e}}{\binom {\color {blue}c}{\color {Blue}f}}\div {\binom {{\color {red}a}+{\color {green}b}+{\color {blue}c}}{{\color {Red}d}+{\color {Green}e}+{\color {Blue}f}}}={\frac {a!\,b!\,c!\,(d+e+f)!\,(a+b+c-d-e-f)!}{d!\,e!\,f!\,(a-d)!\,(b-e)!\,(c-f)!\,(a+b+c)!}}$

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt ${\color {red}\mathrm {4} }$ roten, ${\color {green}\mathrm {5} }$ grünen und ${\color {blue}\mathrm {6} }$ blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau ${\color {Red}\mathrm {1} }$ rote, ${\color {Green}\mathrm {2} }$ grüne und ${\color {Blue}\mathrm {3} }$ blaue Murmeln befinden, exakt $160/1001$:

$P={\binom {\color {red}4}{\color {Red}1}}{\binom {\color {green}5}{\color {Green}2}}{\binom {\color {blue}6}{\color {Blue}3}}\div {\binom {{\color {red}4}+{\color {green}5}+{\color {blue}6}}{{\color {Red}1}+{\color {Green}2}+{\color {Blue}3}}}={\frac {4\times 10\times 20}{5005}}={\frac {160}{1001}}=0{,}{\overline {159840}}$

Weitere Beispiele siehe unter: Kombination (Kombinatorik) → Beispiele

Kombinatorische Beweise

Die kombinatorische Deutung erlaubt auch einfache Beweise von Relationen zwischen Binomialkoeffizienten, etwa durch doppeltes Abzählen. Beispiel: Für $1\leq k\leq n$ gilt:

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

Beweis: Es sei $X$ eine $n$-elementige Menge und $x\in X$ ein festes Element. Dann zerfallen die $k$-elementigen Teilmengen von $X$ in zwei Klassen:

• die Teilmengen, die $x$ enthalten; sie bestehen also aus $x$ zusammen mit einer $(k-1)$-elementigen Teilmenge der $(n-1)$-elementigen Menge $X\setminus \{x\}$,
• die Teilmengen, die $x$ nicht enthalten; sie sind $k$-elementige Teilmengen der $(n-1)$-elementigen Menge $X\setminus \{x\}$.

Kombinationsmengen

Die Menge aller $k$-elementigen Teilmengen einer Menge $M$ wird wegen ihrer Mächtigkeit ${\tbinom {\left|M\right|}{k}}$ gelegentlich auch mit ${\tbinom {M}{k}}$ bezeichnet. Damit gilt für jede endliche Menge $M$:

$\left|{M \choose k}\right|={\left|M\right| \choose k}$

Ausdrücke mit Binomialkoeffizienten

Summen mit Binomialkoeffizienten

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dotsb +{\binom {n}{n}}=2^{n}$

Dieser Formel liegt ein kombinatorischer Sachverhalt zu Grunde. Da ${\tbinom {n}{k}}$ die Anzahl aller $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge ist, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen, also $2^{n}$. Die Formel lässt sich auch aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem man $x=y=1$ setzt.

Summen mit alternierenden Binomialkoeffizienten

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}\mp \dotsb +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}=0$ für $n>0$.

Diese Formel folgt für ungerade $n$ aus der Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Für beliebige $n$ lässt sie sich aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem $x=1$ und $y=-1$ (oder $x=-1$ und $y=1$) gesetzt wird.

Summen von Binomialkoeffizienten mit geraden bzw. ungeraden Anzahlen ausgewählter Objekte

Durch Subtraktion bzw. Addition obiger Gleichungen $\textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}$ und $\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0$ und anschließende Halbierung ist für $n>0$ zu erhalten:

$\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\binom {n}{2k}}=2^{n-1}$ wie auch $\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\binom {n}{2k+1}}=2^{n-1}$;

hierbei sind [] Gaußklammern.

Summe verschobener Binomialkoeffizienten

Ausgehend vom Induktionsanfang $\textstyle \sum _{k=0}^{m=1}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n}{n}}+{\binom {n+1}{n}}={\binom {n+1}{n+1}}+{\binom {n+1}{n}}={\binom {n+1+1}{n+1}}$ für beliebiges $n$, der die Rekursionsvorschrift für Binomialkoeffizienten nutzt, ist mit Induktion nach $m$ unter erneuter Nutzung der Rekursionsvorschrift leicht zu beweisen:

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n}{n}}+{\binom {n+1}{n}}+\dotsb +{\binom {n+m}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}$;

wegen Symmetrie der Summanden wie auch der Summe gilt ebenso:

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n+1}{1}}+\dotsb +{\binom {n+m}{m}}={\binom {n+m+1}{m}}={\binom {n+m+1}{n+1}}$.

Vandermondesche Identität

$\sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}={\binom {m+n}{k}}.$

Es gibt auch hier ein kombinatorisches Argument: Die rechte Seite entspricht der Anzahl von $k$-elementigen Teilmengen einer $(m+n)$-elementigen Menge von Kugeln. Man kann sich nun vorstellen, dass die Kugeln zwei verschiedene Farben haben: $m$ Kugeln seien rot und $n$ Kugeln grün. Eine $k$-elementige Teilmenge besteht dann aus einer gewissen Anzahl $j$ von roten Kugeln und $k-j$ vielen grünen. Für jedes mögliche $j$ gibt der entsprechende Summand auf der linken Seite die Anzahl der Möglichkeiten für solch eine Aufteilung in rote und grüne Kugeln an. Die Summe liefert die Gesamtzahl. Ein oft als einfacher empfundener Beweis verwendet den Binomischen Lehrsatz in der Form

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k},$

sowie den Ansatz

$(1+x)^{m}(1+x)^{n}=(1+x)^{m+n}$

und Koeffizientenvergleich.

Im Spezialfall $k=m=n$ ergibt sich aus der Vandermondeschen Identität folgende Formel für die Quadratsummen:

$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}^{2}={\binom {2n}{n}}=\operatorname {CBC} (n)$

Mit dem Kürzel $\operatorname {CBC}$ wird der Mittlere Binomialkoeffizient (Zentralbinomialkoeffizient, Central Binomial Coefficient) gekennzeichnet.

Darstellung der Hockey-Stick-Identität im Pascalschen Dreieck.

Hockey-Stick-Identität

Für $n,r\in \mathbb {N}$ mit $n\geq r$ gilt $\sum \limits _{i=r}^{n}{\begin{pmatrix}i\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n+1\\r+1\end{pmatrix}}$. Der Name Hockey-Stick-Identität (Hockeyschläger-Identität) rührt von der graphischen Darstellung der Identität auf dem Pascalschen Dreieck her: Wenn die einzelnen Summanden und der Wert der Summe selbst farblich hervorgehoben werden, erinnert die Form an einen Hockeyschläger.

Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlenfolge ist eine unendliche Folge aus natürlichen Zahlen, welche zweimal mit der Zahl Eins beginnt und bei jede Zahl als Summe der beiden in der Folge vorangehenden Zahlen entsteht:

$Fb(1)=1$

$Fb(2)=1$

$Fb(n+2)=Fb(n)+Fb(n+1)$

Der unendliche Grenzwert aus dem Quotienten sukzessiver Folgenglieder nimmt den Wert der goldenen Zahl an.

Mit den Binomialkoeffizienten können die Fibonaccizahlen in Form einer geschlossenen Summe dargestellt werden:

$Fb(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k}{2k}}$

$Fb(2n+2)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k+1}{2k+1}}$

Beispielsweise gilt für diese Fibonacci-Zahlen aus den ungeraden Indizes:

$Fb(5)={\binom {2}{0}}+{\binom {3}{2}}+{\binom {4}{4}}=1+3+1=5$

$Fb(7)={\binom {3}{0}}+{\binom {4}{2}}+{\binom {5}{4}}+{\binom {6}{6}}=1+6+5+1=13$

$Fb(9)={\binom {4}{0}}+{\binom {5}{2}}+{\binom {6}{4}}+{\binom {7}{6}}+{\binom {8}{8}}=1+10+15+7+1=34$

Und es gilt für jene Fibonacci-Zahlen aus den geraden Indizes:

$Fb(6)={\binom {3}{1}}+{\binom {4}{3}}+{\binom {5}{5}}=3+4+1=8$

$Fb(8)={\binom {4}{1}}+{\binom {5}{3}}+{\binom {6}{5}}+{\binom {7}{7}}=4+10+6+1=21$

Zentraler Grenzwertsatz

Die Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg und Paul Pierre Lévy erkannten, dass bei der additiven Überlagerung unendlich vieler kleiner unabhängiger Zufallseffekte zu einem Gesamteffekt die Gaußsche Normalverteilung ergibt. Der Binomialkoeffizient ist für Zahlenpaare a und b jenseits von den natürlichen Zahlen auf folgende Weise definiert:

${\binom {a}{b}}\equiv {\frac {a!}{b!(a-b)!}}={\frac {\Pi (a)}{\Pi (b)\,\Pi (a-b)}}={\frac {\Gamma (a+1)}{\Gamma (b+1)\,\Gamma (a-b+1)}}$

Mit dieser kontinuierlichen Definition des Binomialkoeffizienten gilt somit der zentrale Grenzwertsatz:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\binom {2n^{2}}{n^{2}+nx}}\div {\binom {2n^{2}}{n^{2}}}=\exp(-x^{2})$

Gemäß diesem Satz ergibt die infinitesimale Annäherung der Binomialkoeffizientenfunktion nach dem soeben beschriebenen Muster die Gaußsche Glockenkurvenfunktion. Dieser Ausdruck ist mit folgendem Ausdruck identisch:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\Pi (n^{2})^{2}}{\Pi (n^{2}+nx)\,\Pi (n^{2}-nx)}}=\exp(-x^{2})$

Divisionsreste

Ist $p$ eine Primzahl, $n_{0},k_{0}\in \{0,\dotsc ,p-1\}$ und $n_{1},k_{1}\in \mathbb {N}$, dann ist

${\binom {n_{0}+pn_{1}}{k_{0}+pk_{1}}}\equiv {\binom {n_{0}}{k_{0}}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}{\pmod {p}}.$

Das heißt, modulo $p$ kann ${\tbinom {n}{k}}$ mit Hilfe der Darstellungen von $n$ und $k$ zur Basis $p$ effizient berechnet werden, nämlich „ziffernweise“.

Binomialkoeffizienten in der Analysis

Verallgemeinerung

Komplexe Verallgemeinerung

Wie bereits im Definitionsteil genannt, so lautet die generelle Verallgemeinerung für positive obere Einträge und für reelle untere Einträge wie folgt:

${\binom {\alpha }{k}}=\prod _{z=1}^{\infty }\left(1+{\frac {k}{z}}\right)\left(1+{\frac {\alpha -k}{z}}\right)\left(1+{\frac {\alpha }{z}}\right)^{-1}$

Eine weitere Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn man für den oberen Eintrag eine beliebige komplexe Zahl $\alpha$ zulässt, aber den unteren Eintrag weiterhin als ganzzahlig voraussetzt, durch die Definition

${\binom {\alpha }{k}}={\begin{cases}{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -(k-1))}{k!}},&{\text{wenn }}\quad k>0,\\1,&{\text{wenn }}\quad k=0,\\0,&{\text{wenn }}\quad k<0.\end{cases}}$

Man spricht auch vom allgemeinen Binomialkoeffizienten „$\alpha$ über $k$“. Diese Definition stimmt für nichtnegative ganzzahlige $\alpha$ mit der kombinatorischen Definition (also der Definition von ${\tbinom {\alpha }{k}}$ als die Anzahl aller $k$-elementigen Teilmengen einer festen $\alpha$-elementigen Menge) überein, und für nichtnegative $k$ mit der algebraischen Definition (also der Definition von ${\tbinom {\alpha }{k}}$ als das Produkt ${\tfrac {\alpha }{1}}\cdot {\tfrac {\alpha -1}{2}}\dotsm {\tfrac {\alpha -(k-1)}{k}}$).

Anwendung für algebraisch darstellbare Fälle

Beispielsweise ist

${2{,}5 \choose 2}={\frac {2{,}5\cdot 1{,}5}{2!}}={\frac {3{,}75}{2}}=1{,}875$

und

${-1 \choose k}={\frac {(-1)(-2)\dotsm (-k)}{k!}}=(-1)^{k}.$

Auch der zweite Parameter $k$ lässt sich auf beliebige komplexe Belegung $z$ verallgemeinern, wenn mit Hilfe der Betafunktion $\mathrm {B} (x,y)$ für $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \{-1,-2,-3,\dotsc \}$ definiert wird:

${\binom {\alpha }{z}}={\frac {1}{(\alpha +1)\,\mathrm {B} (z+1,\alpha -z+1)}}={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (z+1)\,\Gamma (\alpha -z+1)}},$

wobei $\Gamma (z)$ die Gammafunktion bezeichnet. Ist dabei $z$ oder $\alpha -z$ eine negative ganze Zahl, so ist der Wert der rechten Seite 0, weil die nichtpositiven ganzen Zahlen die (einzigen) Polstellen von $\Gamma (z)$ sind.

Ersichtlich gilt weiterhin die Symmetriebeziehung

${\binom {\alpha }{z}}={\binom {\alpha }{\alpha -z}}$,

insbesondere

${\binom {\alpha }{1}}={\binom {\alpha }{\alpha -1}}=\alpha$,

${\binom {\alpha }{0}}={\binom {\alpha }{\alpha }}=1$

Anwendung für negativzahlige Einträge

und bei nichtnegativem ganzen $m$

${\binom {\alpha }{-m}}={\binom {\alpha }{\alpha +m}}=0$.

Um das Vorzeichen aus dem ersten Parameter zu extrahieren, sofern er ganzzahlig ist, lässt sich die Relation

${\binom {-\alpha }{k}}=(-1)^{k}{\binom {\alpha +k-1}{k}}$

angeben.

Allgemein gilt für komplexe $\alpha$, $z$ die Beziehung

${\binom {-\alpha }{z}}=\left(\cos(\pi z)+\sin(\pi z)\cot(\pi \alpha )\right){\binom {\alpha +z-1}{z}}$.

Eine weitere Verallgemeinerung bieten die Multinomialkoeffizienten, die bei der Verallgemeinerung des binomischen auf den multinomialen Lehrsatz benötigt werden.

Elliptische Binomialkoeffizienten

Wenn beim Binomialkoeffizienten der obere Eintrag eine positive rationale Bruchzahl und der untere Eintrag ebenso eine solche rationale Bruchzahl ist, welche in ihrer komplett gekürzten Form eine natürliche Nennerzahl $\geq 3$ ist, dann ist der sich ergebende Wert des Binomialkoeffizienten mit einem elliptischen Integral von erster bis dritter Art darstellbar. Während für die Darstellung der meisten so beschaffenen Binomialkoeffizienten eine algebraische Kombination aus einem elliptischen Integral erster Art $K$ von einer algebraischen Zahl alleine nicht ausreichend ist, gibt es dennoch einige Binomialkoeffizienten, für welche exakt diese Darstellung die betroffenen Werte ermöglicht:

Wie erwähnt gilt für den Zentralbinomialkoeffizienten diese Definition:

$\operatorname {CBC} (z)={\binom {2z}{z}}={\frac {\Pi (2z)}{\Pi (z)^{2}}}$

Und so ist das vollständige elliptische Integral erster Art definiert:

$K(\varepsilon )=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

Mit diesen Definitionen lassen sich diese Werte aufstellen:

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}={\frac {4}{\pi }}$

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}$ (Äquianharmonischer Wert!)

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}=2\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{-1}$ (Lemniskatischer Wert!)

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\bigr )}={\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}$ (Äquianharmonischer Wert!)

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{8}}{\bigr )}={\sqrt[{4}]{8}}\,K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}^{-1}$ (Landenscher Wert!)

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{12}}{\bigr )}={\sqrt[{6}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,({\sqrt {3}}-1)\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{-1}$ (Lemniskatischer Wert!)

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{20}}{\bigr )}={\sqrt[{10}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{5}}\,\cos {\bigl (}{\frac {1}{10}}\pi {\bigr )}^{1/2}\sec {\bigl (}{\frac {1}{20}}\pi {\bigr )}\,K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\sqrt {5}}-2{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-1}$

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{24}}{\bigr )}={\sqrt[{12}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {3}}+1)\,K{\bigl [}{\bigl (}2-{\sqrt {3}}\,{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\bigr ]}^{-1}$

Selbst bei diesen Werten von Zentralbinomialkoeffizienten mit Ausnahme des obersten Wertes ist jegliche elementare Darstellung komplett unmöglich!

Binomische Reihen

Für $n\in \mathbb {N} _{0}$ und $z\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$ mit $|z|\geq 1$ erhält man die Beziehung

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k}{n}}{\frac {1}{z^{k+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\binom {k}{n}}{\frac {1}{z^{k+1}}}={\frac {1}{(z-1)^{n+1}}},$

die eine Verallgemeinerung der geometrischen Reihe darstellt und zu den binomischen Reihen gehört.

Ist $|z|\leq 1$, $z\neq -1$ sowie $\alpha \in \mathbb {C}$, konvergiert die folgende Reihe gemäß

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}z^{k}=(1+z)^{\alpha }.$

Exaktere Bedingungen für $z$ und $\alpha$ sind im Artikel Binomische Reihe angegeben.

Wurzelbrüche

Für $n\in \mathbb {N}$ und erhält man die folgende Beziehung:

${\biggl (}{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{n}=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {2k+2n-2}{k-1}}{\frac {4\,n}{4^{k+n}(k+n-1)}}\,x^{2k+2n-2}$

Dieser Ausdruck kann alternativ so mit der Gammafunktion dargestellt werden:

${\biggl (}{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{n}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {8\,n\,\Gamma (2k+2n-2)}{4^{k+n}\Gamma (k)\,\Gamma (k+2n)}}\,x^{2k+2n-2}$

Summenausdruck für die Betafunktion

Eine weitere Beziehung kann man für alle $m,n\geq 0$ relativ einfach mit vollständiger Induktion beweisen,

$\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{m+k+1}}={\dfrac {1}{(m+n+1)\displaystyle {\binom {m+n}{m}}}},$

woraus unmittelbar die Symmetrie

$\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{m+k+1}}=\sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{n+k+1}}$

folgt. Eine Verallgemeinerung für $z,s\in \mathbb {C}$ mit $-z,-s\notin \mathbb {N}$ und $s+z\neq -1$ lautet

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\binom {s}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k+1}}={\dfrac {1}{(z+s+1)\displaystyle {\binom {z+s}{s}}}}=\mathrm {B} (z+1,s+1).$

Gaußsche Produktdarstellung für die Gammafunktion

Mit der letzten Formel aus dem vorherigen Abschnitt ist für $-z\notin \{0,1,2,\dotsc ,n\}$

$\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k}}={\frac {n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}}.$

Betrachtet man den Fall $\operatorname {Re} z>0$, ersetzt die Brüche in der Summe durch Integrale gemäß

${\frac {1}{z+k}}=\int \limits _{0}^{1}t^{z+k-1}\mathrm {d} t$

und fasst die Summe der Potenzen den binomischen Formeln entsprechend zusammen, erhält man

$\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k}}=\int \limits _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{n}\mathrm {d} t=n^{-z}\int \limits _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\mathrm {d} t,$

wobei beim letzten Integral die Substitution $t\to t/n$ angewendet wurde. Schließlich hat man die Gleichung

$\int \limits _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\mathrm {d} t={\frac {n^{z}\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}},$

woraus sich durch den Grenzübergang $n\to \infty$ direkt die Gaußsche Produktdarstellung der Gammafunktion,

$\Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n^{z}\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}},$

ergibt.

Digammafunktion und Euler-Mascheroni-Konstante

Für $m,n\in \mathbb {N}$ mit $m\leq n$ gilt

$\sum \limits _{k=1}^{m}{\binom {n}{m-k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}={\binom {n}{m}}\sum \limits _{k=n-m+1}^{n}{\frac {1}{k}},$

was sich ebenfalls über Induktion nach $m$ beweisen lässt. Für den Spezialfall $n=m$ vereinfacht sich diese Gleichung zu

$\sum \limits _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=H_{n},$

wobei $H_{n}$ die Folge der Harmonischen Zahlen, also der Partialsummen der Harmonischen Reihe ist. Die Umwandlung der linken Summe in eine Reihe (Limit $\infty$ statt $n$) ist dabei erlaubt wegen ${\tbinom {n}{k}}=0$ für $n<k.$

$H_{n}$ ist andererseits darstellbar als

$H_{n}=\psi (n+1)-\psi (1)=\psi (n+1)+\gamma$

mit der Digammafunktion $\psi (n)$ und der Euler-Mascheroni-Konstanten $\gamma .$

$\psi (n)$ kann auf komplexe Werte $z$ – außer auf negative ganze Zahlen – fortgesetzt werden. Man bekommt so die Reihe

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\binom {z}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\psi (z+1)+\gamma$

als komplexe Interpolation der Folge der Harmonischen Zahlen.

Trivia

Die wörtliche Übersetzung von „$n$ über $k$“ ins Englische „$n$ over $k$“ bezeichnet nicht den Binomialkoeffizienten ${\tbinom {n}{k}}$, sondern den Bruch ${\tfrac {n}{k}}$. Korrekt ist „$n$ choose $k$“.

Weblinks

Wiktionary: Binomialkoeffizient – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Algorithmensammlung: Kombinatorik: Binomialkoeffizient – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten

Commons: Binomialkoeffizient – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Download von BigAl. (Kleines, freies und plattformunabhängiges Programm, u. a. zur genauen Berechnung des Binomialkoeffizienten; mit Quelltext).
• Online-Berechnung von Binomialkoeffizienten.
• Christoph Pöppe: Wie findet man acht Richtige aus elf? in Spektrum.de vom 6. Dezember 2022