Binomische Reihe

Potenzreihe, die im binomischen Lehrsatz für komplexe Zahlen auftaucht

Die binomische Reihe ist eine Potenzreihe, die sich bei einer Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf Potenzen mit reellen oder komplexen Exponenten ergibt:[1]

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit ab und ist daher dann nur eine endliche Summe. Die Koeffizienten der binomischen Reihe sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet ist. Für sie gilt

mit der fallenden Faktorielle , wobei für das leere Produkt den Wert 1 zugewiesen bekommt.

Ein Spezialfall der binomischen Reihe ist die Maclaurinsche Reihe der Funktion mit :[1]

GeschichteBearbeiten

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form   kann heute Omar Chayyām aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl   und alle reellen   im Intervall   das Binom   darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe  . Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls   gilt.

Verhalten auf dem Rand des KonvergenzkreisesBearbeiten

Es sei   und  .

  • Die Reihe   konvergiert genau dann absolut, wenn   oder   ist (  bezeichnet den Realteil von  ).
  • Für alle   auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn   ist.
  • Für   konvergiert die Reihe genau dann, wenn   oder   ist.

Beziehung zur geometrischen ReiheBearbeiten

Setzt man   und ersetzt   durch  , so erhält man

 

Wegen   für alle natürlichen Zahlen   lässt sich diese Reihe auch schreiben als  . Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

BeispieleBearbeiten

  •   (ein Spezialfall der binomischen Formel für das Quadrat einer Summe)
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QuellenBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Eric W. Weisstein: Binomial Series. In: MathWorld (englisch).