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Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms , also einen Ausdruck der Form

als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche ExponentenBearbeiten

Für alle Elemente   und   eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen   gilt die Gleichung:

 

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen   und   (mit der Konvention  ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

 ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit   ist hierbei die Fakultät von   bezeichnet.

BemerkungBearbeiten

Die Terme   sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl   an das Ringelement   aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als  -Modul benutzt.

SpezialisierungBearbeiten

Der binomische Lehrsatz für den Fall   heißt erste binomische Formel.

VerallgemeinerungenBearbeiten

  • Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente   und   in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h.   gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
 .

BeweisBearbeiten

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl   kann durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Für jedes konkrete   kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

BeispieleBearbeiten

 
 
 , wobei   die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe ExponentenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten   mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn   eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

 .

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle   mit   und  .

Im Spezialfall   geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle   gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

 

Im Fall   entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für   und   ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

WeblinksBearbeiten