Fakultät (Mathematik)

Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Die Fakultät ist die für die natürlichen Zahlen definierte Form der Gaußschen Pifunktion und ordnet alle natürlichzahligen Abszissenwerte natürlichzahligen Ordinatenwerten zu. Die Notation für die Fakultät mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals im Jahre 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit“ dafür einführte.

0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
20 2,432… · 1018
50 3,041… · 1064
100 9,332… · 10157

DefinitionBearbeiten

Für alle natürlichen Zahlen   ist

 

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis   definiert. Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt

 

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

 

Fakultäten im ursprünglichen Sinne sind für negative oder nichtganze Zahlen nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente. Sie wird als Gaußsche Pifunktion bezeichnet und ist für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen definiert.

Auf   kann die Gaußsche Pifunktion beziehungsweise Fakultätsfunktion als Eulersche Gammafunktion der Nachfolgerfunktion definiert werden:

 

Das auf der rechten Seite der Gleichungskette gezeigte Produkt wird Weierstraß-Produkt genannt.

Mit   wird die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

WertelisteBearbeiten

 
Diagramm von 0! bis 4!

Fakultätswerte von ganzen ZahlenBearbeiten

 

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Explizite Fakultätswerte von 0 bis 20
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5.040
8! 40.320
9! 362.880
10! 3.628.800
11! 39.916.800
12! 479.001.600
13! 6.227.020.800
14! 87.178.291.200
15! 1.307.674.368.000
16! 20.922.789.888.000
17! 355.687.428.096.000
18! 6.402.373.705.728.000
19! 121.645.100.408.832.000
20! 2.432.902.008.176.640.000

Fakultätswerte von BrüchenBearbeiten

Aus Übersichtlichkeitsgründen werden die Fakultäten der Brüche hier mit der Gaußschen Pifunktion dargestellt und mit Hilfe der Zentralbinomialkoeffizienten (CBC) sowie mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals erster Art ausgedrückt. Wie oben erwähnt, ist die kontinuierliche Fakultätsfunktion gleich der Gaußschen Pifunktion:  

Für den Zentralbinomialkoeffizienten gilt:  

Fakultät CBC-Ausdruck K-Ausdruck
     
     
     
     
     

Das sind die Werte der Zentralbinomialkoeffizienten:

 
 
 
 
 

Mit dem Kürzel   wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.

Dabei hat das vollständige elliptische Integral erster Art diese Definition:

 
 

Diese beiden nun genannten Definitionsformeln für das elliptische K-Integral stimmen miteinander überein.

Die gezeigten Werte des Zentralbinomialkoeffizienten können sehr leicht durch diese Formeln[1] erzeugt werden:

 
 

Generell gilt dann folgende Formel für alle  :

 

Im letzten Schritt wird auf folgende Weise substituiert:  

Das zuletzt genannte Integral ermöglicht die Ermittlung der CBC-Werte von Brüchen mit Hilfe einfacher elliptischer Stammfunktionen.

Die Pifunktionswerte der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen ergeben sich stets durch Multiplikation von Potenzen der Zentralbinomialkoeffizienten aus den Zweierpotenz-Vielfachen der genannten Kehrwerte:

Fakultät CBC-Ausdruck
   
   
   
   

TheoremeBearbeiten

BasistheoremBearbeiten

Das grundlegendste Theorem über die Fakultätsfunktion ist das folgende Theorem:

 

Eulerscher ErgänzungssatzBearbeiten

Im Jahre 1749 hat der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler einen Ergänzungssatz[2][3] entdeckt, welcher nach ihm benannt wurde. Im nun Folgenden wird der Eulersche Ergänzungssatz mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

 

Legendresche VerdopplungsformelBearbeiten

Im Jahre 1809 hat der französische Mathematiker Adrien Marie Legendre die Verdopplungsformel für die Fakultät[4] entdeckt, welcher mittels Gammafunktionsausdrücken in der Sammlung Mémoires de l'Institut des Sciences et Arts aus dem Institut de France verewigt ist. Auch diese Identität wird hier mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

 

Herleitungen über die FakultätsfunktionBearbeiten

Herleitung des Eulerschen IntegralsBearbeiten

Gegeben ist die diskrete und ebenso ursprünglichste Definition der Fakultätsfunktion für alle natürlichen Zahlen   nach dem oben genannten Muster:

 

Diese diskret definierte Funktionsdefinition erfüllt folgendes Induktionskriterium aus folgenden zwei verknüpften Formeln:

 
 

Das Eulersche Integral zweiter Art oder auch das Eulersche Integral zweiter Gattung definiert die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion für alle Zahlen größer als Minus Eins:

 

Denn diese Funktion erfüllt die genannte Induktion:

 
 

 

 
 

Aus   und   folgt   direkt.

Herleitung der Stammfunktion von H über InduktionBearbeiten

Für alle reellen Zahlen   ist die harmonische Reihenfunktion nach Karl Weierstraß so definiert:

 

An der Summenreihe ist das Rekursionskriterium ablesbar:

 

Für alle Zahlen   gilt dann auch diese Summe:

 

Das Integral der harmonischen Reihenfunktion führt direkt zur Definition der Mascheronischen Konstante:

 
 

Im Folgenden werden die Integralgrenzen verschoben. So ist dann für alle natürlichen Werte   die folgende Beziehung gültig:

 
 
 
 

Das Resultat dieser Gleichungskette lautet somit wie folgt:

 

Aus diesem Resultat folgt durch Induktion diese Überleitung:

 
 
 
 

Denn die Summe der Logarithmen ist gleich dem Logarithmus vom Produkt.

Direkt daraus entsteht dann die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion:

 

Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion wird somit auf folgende Weise abgeleitet:

 

Herleitung der Produktreihe nach WeierstraßBearbeiten

Nach der vorherigen Herleitung gilt für alle Werte   auch diese Formel:

 

Wie beschrieben hat die harmonischen Reihenfunktion diese Definition:

 

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x folgt dann diese Gleichung:

 

Die zweite Potenzregel besagt, dass die Exponentialfunktion aus einer Summe gleich dem Produkt aus den Exponentialfunktionen ist:

 

Durch weitere Anwendung der zweiten Potenzregel entsteht folgender Ausdruck:

 

So kommt direkt die Produktreihe nach Weierstraß hervor, die für alle Zahlen   Gültigkeit hat:

 

AnwendungenBearbeiten

PermutationenBearbeiten

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil   die Anzahl der Möglichkeiten ist,   unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls   eine  -elementige Menge ist, so ist   auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen   (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall  , da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern   verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher   Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer   Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also

 

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

BinomialkoeffizientenBearbeiten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

 .

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine  -elementige Teilmenge aus einer  -elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt

 .

Das beliebteste Beispiel ist das Zahlenlotto 6 aus 49 mit insgesamt 13983816 Möglichkeiten, sich sechs verschiedene Kugeln auszusuchen.

 

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

Ein weiteres bekanntes Beispiel ist der Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, aus insgesamt   roten,   grünen und   blauen Murmeln genau   rote,   grüne und   blaue Murmeln beim Herausholen zu bekommen, wobei man insgesamt   Murmeln herausholen soll, hat folgenden Wert:

 

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt   roten,   grünen und   blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau   rote,   grüne und   blaue Murmeln befinden, exakt  :

 

GeburtstagsproblemBearbeiten

Das Geburtstagsproblem ist eines der bekanntesten stochastisch kombinatorischen Rätsel über die Fakultät. Dieses Rätsel behandelt die Wahrscheinlichkeit, mit welcher unter einer gegebenen Gruppe von insgesamt n Personen mindestens zwei Personen aus dieser Gruppe zueinander am gleichen Tag Geburtstag haben. Gegeben ist hierbei ein Nicht-Schaltjahr, also ein Jahr aus 365 Tagen. In Abhängigkeit von der Personenzahl n wird diese Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnet:

 

Beispielsweise[5] beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht mehr als zehn Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünfzehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als fünfundzwanzig Prozent:

 
 

TaylorreihenBearbeiten

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Eulersche ZahlBearbeiten

Die eulersche Zahl   lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

 

Numerische Berechnung und NäherungBearbeiten

 
Die Fakultät und die Stirlingformel

Rekursive und iterative BerechnungBearbeiten

Der numerische Wert für   kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls   nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist   da   außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist  .

PythonprogrammBearbeiten

Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Rekursive Lösung

def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Näherung mit der Stirling-FormelBearbeiten

Wenn   groß ist, bekommt man eine gute Näherung für   mit Hilfe der Stirling-Formel:

 

Dabei bedeutet  , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für   gegen   konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:[6]

 

Fakultät-ähnliche FunktionenBearbeiten

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

GammafunktionBearbeiten

 
Die Gammafunktion

Die Gammafunktion   verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:[7]

 ,  
 
Für   kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:[8]
 

FaktorielleBearbeiten

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen   und   dar, denn  .

Primorial (Primfakultät)Bearbeiten

n n# n n#
1 1 5 30
2 2 6 30
3 6 7 210
4 6 8 210

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

 

SubfakultätBearbeiten

n !n n !n
1 0 5 44
2 1 6 265
3 2 7 1854
4 9 8 14833

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

 

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von   Elementen.

DoppelfakultätBearbeiten

n n n n
1 1 5 15
2 2 6 48
3 3 7 105
4 8 8 384

DefinitionBearbeiten

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade   das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich  . Für ungerade   ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich  .

Sie ist definiert als:[9]

 

Häufig werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt

      und      

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass   für alle ungeraden ganzen Zahlen   gilt. Man erhält die Formel   für ungerade  .

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.

BeispieleBearbeiten

  •  
  •  

AnwendungsbeispieleBearbeiten

  • Die Anzahl   der  -stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus   Elementen wird gegeben durch die Rekursion   mit Rekursionsanfang   (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt  . Sollen z. B.   Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch  .
  • Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe   ist  .
  • Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von   Elementen ist  .
  • Das  -te Moment der Standardnormalverteilung ist  .
  • Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
  • Für natürliche   gilt  .

MultifakultätBearbeiten

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache ( ), vierfache ( ), …,  -fache Fakultät ( ) rekursiv definiert als

 [10]

Verwandte FunktionenBearbeiten

Superfakultät und HyperfakultätBearbeiten

Natürlicher Logarithmus der FakultätBearbeiten

Gegeben ist die oben genannte Summenreihe für den Logarithmus naturalis aus der Fakultät:

 

Diese Formel geht dann durch Darstellung der soeben gezeigten Formel mittels Stammfunktion der geometrischen Reihe und anschließenden Einsatzes der Definition der Riemannschen Zetafunktion hervor:

 

Für die Debyeschen Funktionen gilt:

 

Basierend auf dieser Identität kann folgende Integralidentität für den Logarithmus naturalis der Fakultätsfunktion hervorgebracht werden:

 

Diese nun gezeigte Gleichung kommt auch durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x von folgender Formel hervor:

 

Aus der gezeigten Formel kann das Element der Mascheroni-Konstante so entfernt werden:

 

Für nähere Herleitungen siehe den Artikel Euler-Mascheroni-Konstante.

SuperfakultätBearbeiten

Der Begriff Superfakultät   wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet;[11]

Schwerpunktmäßig jedoch wird die Superfakultät als das Produkt der ersten   Fakultäten grundlegend definiert:

 [11]

Die Funktion   stellt die Barnessche G-Funktion dar.

Für alle natürlichen Zahlen identisch mit der soeben genannten Definition sind diese beiden Definitionen, welche die Superfakultät für alle   definieren:

 

 

Für die Superfakultät sollen im Folgenden einige Werte genannt werden:[12]

           

Diese Werte sind in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolge unter dem Code OEIS: A000178 eingetragen.

Von anderen Mathematikern wurde der Begriff Superfakultät auch als mehrfache Potenz einer Fakultät verwendet:

 

HyperfakultätBearbeiten

Die Hyperfakultät  [13] ist für natürliche   folgendermaßen definiert:

 [14]

Sie kann durch die stochastische K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Es gilt hierfür folgende Formel:

 

Hierbei sollte diese K-Funktion keinesfalls mit dem elliptischen K-Integral verwechselt werden.

So gelten diese Definitionsformeln für die Hyperfakultät in Abhängigkeit von der Gaußschen Pifunktion beziehungsweise Eulerschen Gammafunktion:

 

 

Basierend auf den genannten Definitionen gilt somit folgende Beziehung zwischen Hyperfakultät und Superfakultät:

 

Für die Hyperfakultät sollen im Folgenden einige Werte genannt werden:[15]

           

Diese Werte sind in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolge unter dem Code OEIS: A002109 eingetragen.

Dies sind die Gleichungen, die im Abschnitt Harmonische Reihenfunktion genannt wurden:

 
 
 

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x bei diesen Formeln entstehen nun folgenden Formeln:

 
 
 

Glaisher-Kinkelin-KonstanteBearbeiten

Die Superfakultät und die Hyperfakultät werden zur Definition der Glaisher-Kinkelin-Konstante angewendet:

 
 

Diese beiden genannten Definitionen stimmen miteinander überein.

Ebenso mit diesen Definitionen übereinstimmend ist diese Abel-Plana-Integraldarstellung für die Glaisher-Kinkelin-Konstante:

 
 

Und die Glaisher-Kinkelin-Konstante findet beispielsweise bei den Riemannschen und Dirichletschen Funktionen Anwendung:

Abszissenwerte x Riemannsche Zetaableitung Dirichletsche Lambdaableitung Dirichletsche Etaableitung
       
       

PrimzahlexponentenBearbeiten

Falls nicht die vollständige Zahl   gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

 

Hier steht   für den Exponenten von   in der Primfaktorzerlegung von  .

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

 

LiteraturBearbeiten

  • Leonhard Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
  • Leonhard Euler: Evolutio formulae integralis ∫ x f − 1 d x ( l x ) m n {\displaystyle \textstyle \int \!x^{f-1}\mathrm {d} x(lx)^{\frac {m}{n}}} integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. 4. Juli 1771, Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
  • Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
  • Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856) In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de)
  • J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics, 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43); Textarchiv – Internet Archive

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Fakultät – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. V. H. Moll: Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. Archivierte Kopie (Memento vom 2. April 2008 im Internet Archive)
  2. Königliche Akademie der Wissenschaften (Berlin): Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres de Berlin: depuis ... : avec les mémoires tirez des registres de cette Academie. 1761 (1768). Haude & Spener, 1768 (google.de [abgerufen am 26. Januar 2023]).
  3. Imperatorskai︠a︡ akademīi︠a︡ naukʺ i khudozhestvʺ (Russia): Novi commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Typis Academiae Scientarum, 1772 (google.de [abgerufen am 26. Januar 2023]).
  4. Institut de France: Mémoires de l'Institut des Sciences et Arts. Paris, 1810 (archive.org [abgerufen am 26. Januar 2023]).
  5. Math Wonders To inspire Teachers and Students. (PDF) Abgerufen am 20. Januar 2023.
  6. Stirling's Approximation. In: Wolfram MathWorld. Abgerufen am 20. Januar 2023 (englisch).
  7. Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. (28. November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, S. 36–57 (lateinisch).
  8. E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, S. 225.
  9. Eric W. Weisstein: Double Factorial. In: MathWorld (englisch).
  10. Eric W. Weisstein: Multifactorial. In: MathWorld (englisch).
  11. a b Eric W. Weisstein: Superfactorial. In: MathWorld (englisch).
  12. A000178 – OEIS. Abgerufen am 9. Januar 2023.
  13. Special factorials. 12. Oktober 2022, abgerufen am 8. Januar 2023 (englisch).
  14. Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch).
  15. A002109 - OEIS. Abgerufen am 9. Januar 2023.