Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit“ dafür einführte.

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
20	2,432… · 1018
50	3,041… · 1064
100	9,332… · 10157

Definition

Für alle natürlichen Zahlen $n$ ist

$n!=1\cdot 2\cdot 3\dotsm n=\prod _{k=1}^{n}k$

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis $n$ definiert. Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt

$0!=1$

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

$n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot (n-1)!,&n>0\end{cases}}$

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente (siehe Abschnitt Gammafunktion).

Beispiele

Diagramm von 0! bis 4!

${\begin{array}{rll}0!&=1&=1\\1!&=1&=1\\2!&=1\cdot 2&=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3&=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4&=24\\5!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5&=120\\&\;\vdots \end{array}}$

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Explizite Fakultätswerte von 0 bis 20

0!	1
1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5.040
8!	40.320
9!	362.880
10!	3.628.800
11!	39.916.800
12!	479.001.600
13!	6.227.020.800
14!	87.178.291.200
15!	1.307.674.368.000
16!	20.922.789.888.000
17!	355.687.428.096.000
18!	6.402.373.705.728.000
19!	121.645.100.408.832.000
20!	2.432.902.008.176.640.000

Anwendungen

Permutationen

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, $n$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$ (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall $n=0$, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern $6!$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher $6\cdot 5$ Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer $6\cdot 5\cdot 4$ Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also

$6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine $k$-elementige Teilmenge aus einer $n$-elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt

$n!=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}{\binom {n}{n-i}}(n-i)^{n}$.

Hier ist das beliebteste Beispiel, das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

${49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13\,983\,816$

Möglichkeiten.

Taylorreihen

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Eulersche Zahl

Die eulersche Zahl $\mathrm {e}$ lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

$\mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb$

Numerische Berechnung und Näherung

Die Fakultät und die Stirlingformel

Rekursive und iterative Berechnung

Der numerische Wert für $n!$ kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls $n$ nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist $69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},$ da $70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}$ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist $170!\approx 7{,}3\cdot 10^{306}$.

Pythonprogramm

Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Rekursive Lösung

def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Java-Programm

public static int factorial(int n) {
    assert n >= 0;

    int val = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        val *= i;
    }
    return val;
}

Rekursive Lösung

public static int factorial(int n) {
	if(n <= 1)
		return 1;
	// else
		return factorial(n - 1) * n;
	// end if
}

Näherung mit der Stirling-Formel

Wenn $n$ groß ist, bekommt man eine gute Näherung für $n!$ mit Hilfe der Stirling-Formel:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

Dabei bedeutet $\sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\to \infty$ gegen $1$ konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:

$n!\sim {\sqrt {(2n+1/3)\pi }}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$.

Fakultät-ähnliche Funktionen

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion

Die Gammafunktion

Die Gammafunktion $\Gamma (z)$ verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

$z!=\Gamma (z+1),\qquad z\in \mathbb {C}$, $\Re {(z)}>0$

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{(-\log {t})^{z-1}\mathrm {d} t}$

Für $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{\leq 0}}$ kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:

$\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+z)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

Faktorielle

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen $(n)_{k}$ und $(n)^{k}$ dar, denn $(n)_{n}=(1)^{n}=n!$.

Primorial (Primfakultät)

n	n#	n	n#
1	1	5	30
2	2	6	30
3	6	7	210
4	6	8	210

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

$n_{\#}=\prod _{\scriptstyle p\,=\,2 \atop \scriptstyle p\,\in \,\mathbb {P} }^{n}p\quad$

Subfakultät

n	!n	n	!n
1	0	5	44
2	1	6	265
3	2	7	1854
4	9	8	14833

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

$!n=n!\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von $n$ Elementen.

Doppelfakultät

n	n!​!	n	n!​!
1	1	5	15
2	2	6	48
3	3	7	105
4	8	8	384

Definition

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade $n$ das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich $n$. Für ungerade $n$ ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich $n$.

Sie ist definiert als:

$n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 2&{\text{für }}n{\text{ gerade und }}n>0,\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 1&{\text{für }}n{\text{ ungerade und }}n>0,\\1&{\text{für }}n\in \{-1,0\}\end{cases}}$

Häufig werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt

$(2k)!!=2^{k}k!$     und     $(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}$

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, so dass $n!!=n\cdot (n-2)!!$ für alle ungeraden ganzen Zahlen $n$ gilt. Man erhält die Formel $n!!={\tfrac {1}{n+2}}\cdot {\tfrac {1}{n+4}}\dotsm {\tfrac {1}{1}}$ für ungerade $n<0$.

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.

Beispiele

• $6!!=6\cdot 4\cdot 2=48$
• $7!!=7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105$

Anwendungsbeispiele

• Die Anzahl $P_{2n}$ der $n$-stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus $2n$ Elementen wird gegeben durch die Rekursion $P_{2n}=(2n-1)P_{2n-2}$ mit Rekursionsanfang $P_{2}=1$ (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt $P_{2n}=(2n-1)!!$. Sollen z. B. $2n$ Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch ${\frac {P_{2n-2}}{P_{2n}}}={\frac {1}{2n-1}}$.
• Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe $B_{n}$ ist $(2n-1)!!$.
• Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von $2n$ Elementen ist $(2n)!!$.
• Das $2n$-te Moment der Standardnormalverteilung ist $(2n-1)!!$.
• Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
• Für natürliche $n$ gilt $(2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$.

Multifakultät

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache ($n!!!$), vierfache ($n!!!!$), …, $k$-fache Fakultät ($n!^{(k)}$) rekursiv definiert als

$n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0\\n&{\text{falls }}0<n\leq k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n>k\end{cases}}$

Superfakultät

Der Begriff Superfakultät $\operatorname {sf} (n)$ wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet; die eine ist definiert als das Produkt der ersten $n$ Fakultäten:

$\operatorname {sf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\ \dotsm \ n!=G(n+2)$

mit der Barnes’schen Funktion $G(n)$, die andere als mehrfache Potenz einer Fakultät:

$n\$=\underbrace {n!^{{n!}^{{\,\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot \,}^{n!}}}}}} _{n!}.$

Hyperfakultät

Die Hyperfakultät $H_{n}$ ist für natürliche $n$ folgendermaßen definiert:

$H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 4^{4}\dotsm n^{n}$

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Verwandte Funktionen

• Smarandache-Funktion

Primzahlexponenten

Falls nicht die vollständige Zahl $n!$ gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, so lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

$v_{p}(n!)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<p\\\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Hier steht $v_{p}(k)$ für den Exponenten von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $k$.

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

${\begin{aligned}v_{5}(10{.}000!)&=2{.}000+v_{5}(2{.}000!)=2{.}000+400+v_{5}(400!)\\&=2{.}400+80+v_{5}(80!)=2{.}480+16+v_{5}(16!)\\&=2{.}496+3+v_{5}(3!)=2{.}499\end{aligned}}$

Weblinks

Wiktionary: Fakultät – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms. effiziente Algorithmen und weitere Informationen (englisch)
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch).