Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik diejenige Funktion, die jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen. Sie wird durch ein dem Funktionsargument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Die Fakultät ist die Einschränkung der Gaußschen Pifunktion auf $\mathbb {N} _{0}$. Ihre Notation mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté = „Fähigkeit“ dafür einführte.

Einige explizite Fakultätswerte

0!	1
1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5.040
8!	40.320
9!	362.880
10!	3.628.800
11!	39.916.800
12!	479.001.600
13!	6.227.020.800
14!	87.178.291.200
15!	1.307.674.368.000
16!	20.922.789.888.000
17!	355.687.428.096.000
18!	6.402.373.705.728.000
19!	121.645.100.408.832.000
20!	2.432.902.008.176.640.000
50!	3,041… · 10 64
100!	9,332… · 10157

Definition

Diskrete Standarddefinition

Für alle natürlichen Zahlen $n$ ist

$n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\dotsm n$

als das Produkt der natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$ definiert. Da das leere Produkt stets gleich 1 ist, gilt:

$0!=1$

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

$n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot (n-1)!,&n>0\end{cases}}$

Diagramm von 0! bis 4!

Beispielhafte Berechnung der Fakultätswerte der ersten sechs natürlichen Zahlen:

${\begin{array}{rll}0!&=1&=1\\1!&=1&=1\\2!&=1\cdot 2&=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3&=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4&=24\\5!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5&=120\\\end{array}}$

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Weierstraßsche Produktdefinition

Fakultäten im ursprünglichen Sinne sind für negative oder nichtganze Zahlen nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente. Sie wird als Gaußsche Pifunktion bezeichnet und ist für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen definiert.

Auf $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}$ kann die Gaußsche Pifunktion beziehungsweise Fakultätsfunktion als Eulersche Gammafunktion der Nachfolgerfunktion definiert werden:

$(x!=)\ \Pi (x):=\Gamma (x+1)=\exp(-\gamma x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]$

Das auf der rechten Seite der Gleichungskette gezeigte Produkt wird Weierstraß-Produkt genannt.

Mit $\gamma$ wird die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Eulersche Produktdefinition

Eine zur genannten Weierstrassschen Definition identische Definition der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaussschen Pifunktion ist die Definition dieser Funktion nach Leonhard Euler:

$x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}$

Diese Formel tauchte insbesondere in einem Brief von Leonhard Euler an den Mathematiker Christian Goldbach am 13. Oktober 1729 auf.

Für diese Formel sollen im nun Folgenden einige Beispiele angeführt werden:

$3!=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{3}}{n^{2}(n+3)}}=6$

$4!=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{4}}{n^{3}(n+4)}}=24$

$5!=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{5}}{n^{4}(n+5)}}=120$

Eines der bekanntesten Beispiele mit dieser Reihe kommt für den Abszissenwert $x={\tfrac {1}{2}}$ hervor:

${\frac {1}{2}}!=\Pi \left({\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{1/2}\left(1+{\frac {1}{2\,n}}\right)^{-1}={\biggl [}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4\,n\,(n+1)}{(2\,n+1)^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}=\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{1/2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

Die nun gezeigte Produktreihe wird als Wallissches Produkt bezeichnet.

Eulersche Integraldefinition

Eine sehr nahe Verwandtschaft mit der soeben gezeigten Produkt weist das Eulersche Integral zweiter Art auf, welches ebenso von Leonhard Euler entdeckt wurde. Das Eulersche Integral zweiter Art oder auch das Eulersche Integral zweiter Gattung definiert die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion für alle Zahlen größer als Minus Eins:

$x!=\Pi (x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y$

Im Gegensatz zu den zuvor genannten Produktformeln ist diese Formel jedoch nur für Werte $x>-1$ gültig. Denn wenn der Wert $x<-1$ ist, dann divergiert das Integral und gibt den wirklichen Fakultätswert nicht wieder. Aber im konvergenten Bereich $x>1$ liefert die Integralformel für jeden Wert $x$ exakt den zugehörigen Fakultätswert beziehungsweise Gaussschen Pifunktionswert. Auch für diese Formel soll im nun Folgenden eine Tabelle von Beispielwerten aufgestellt werden:

$3!=\Pi (3)=\int _{0}^{\infty }y^{3}\exp(-y)\,\mathrm {d} y={\biggl [}(-y^{3}-3y^{2}-6y-6)\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=6$

$4!=\Pi (4)=\int _{0}^{\infty }y^{4}\exp(-y)\,\mathrm {d} y={\biggl [}(-y^{4}-4y^{3}-12y^{2}-24y-24)\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=24$

$5!=\Pi (5)=\int _{0}^{\infty }y^{5}\exp(-y)\,\mathrm {d} y={\biggl [}(-y^{5}-5y^{4}-20y^{3}-60y^{2}-120y-120)\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=120$

Im Abschnitt zuvor wurde dieses Endresultat genannt:

${\tfrac {1}{2}}!=\Pi ({\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {3}{2}})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

Mit dem Eulerschen Integral kann nun folgendes Resultat über das Integral der Gaussschen Glockenkurve hervorgebracht werden:

$\int _{0}^{\infty }\exp(-z^{2})-2z^{2}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\biggl [}z\exp(-z^{2}){\biggr ]}_{z=0}^{z=\infty }=0$

$\int _{0}^{\infty }\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }2z^{2}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }y^{1/2}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=({\tfrac {1}{2}})!=\Pi ({\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {3}{2}})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

Dieses Integral liefert die Grundlage für das sogenannte Fehlerintegral und dieses findet bei der sogenannten Normalverteilung Anwendung.

Fakultätswerte von Brüchen

Mit dem elliptischen Integral K darstellbare Werte

Aus Übersichtlichkeitsgründen werden die Fakultäten der Brüche hier mit der Gaußschen Pifunktion dargestellt und mit Hilfe der Zentralbinomialkoeffizienten (CBC) sowie mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals erster Art ausgedrückt. Wie oben erwähnt, ist die kontinuierliche Fakultätsfunktion gleich der Gaußschen Pifunktion. Das bedeutet, dass die Gaußsche Pifunktion für natürlichzahlige Abszissenwerte mit der Fakultät nach der diskreten Standarddefinition identisch ist.

$\Pi (x)(x\in \mathbb {N} )\equiv x!(x\in \mathbb {N} )$

Für den Zentralbinomialkoeffizienten gilt: $\operatorname {CBC} (x)=\Pi (2x)\Pi (x)^{-2}$

Fakultät	CBC-Ausdruck	K-Ausdruck
$\Pi ({\tfrac {1}{2}})$	$\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{2}})^{-1/2}$	${\tfrac {1}{2}}\pi ^{1/2}$
$\Pi ({\tfrac {1}{3}})$	$({\tfrac {4}{3}})^{1/3}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{3}})^{-2/3}\operatorname {CBC} ({\tfrac {2}{3}})^{-1/3}$	$2^{7/9}3^{-13/12}{\pi }^{1/3}{K{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}}^{1/3}$
$\Pi ({\tfrac {2}{3}})$	$({\tfrac {4}{3}})^{2/3}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{3}})^{-1/3}\operatorname {CBC} ({\tfrac {2}{3}})^{-2/3}$	$2^{11/9}3^{-17/12}{\pi }^{2/3}{K{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}}^{-1/3}$
$\Pi ({\tfrac {1}{4}})$	$\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{4}})^{-1/2}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{2}})^{-1/4}$	${\tfrac {1}{2}}\pi ^{1/4}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{1/2}$
$\Pi ({\tfrac {3}{4}})$	$({\tfrac {3}{2}})^{1/2}\operatorname {CBC} ({\tfrac {3}{4}})^{-1/2}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{2}})^{-1/4}$	$2^{-5/2}3\,\pi ^{3/4}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{-1/2}$

Das sind die Werte der Zentralbinomialkoeffizienten:

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}={\frac {4}{\pi }}$

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}^{-1}$

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {2}{3}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{12}}\pi {\bigr )}{\bigr ]}$

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}=2\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{-1}={\frac {2\,{\sqrt {2}}}{\varpi }}$

$\operatorname {CBC} {\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}={\frac {8}{3\,\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}={\frac {4\,{\sqrt {2}}\,\varpi }{3\,\pi }}$

Mit dem Kürzel $\varpi$ wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.

Dabei hat das vollständige elliptische Integral erster Art diese Definition:

$K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi$

$K(\varepsilon )=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4\,\varepsilon ^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

Diese beiden nun genannten Definitionsformeln für das elliptische K-Integral stimmen miteinander überein.

Integralformeln für die Erzeugung

Die gezeigten Werte des Zentralbinomialkoeffizienten können sehr leicht durch diese Formeln erzeugt werden:

$\operatorname {CBC} (n)={\binom {2n}{n}}={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+1)^{n+1}}}$

${\frac {1}{\operatorname {CBC} (n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {n\,x^{n-1}}{(x+1)^{2n}}}\,\mathrm {d} x$

Generell gilt dann folgende Formel für alle $m\in \mathbb {N}$:

${\frac {1}{\operatorname {CBC} (1/m)}}={\frac {\Pi (1/m)^{2}}{\Pi (2/m)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{(x^{m}+1)^{2/m}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{2^{2/m}{\sqrt {1-x^{m}}}}}\,\mathrm {d} x$

Im letzten Schritt wird auf folgende Weise substituiert: $x\mapsto {\frac {x}{(1+{\sqrt {1-x^{m}}})^{2/m}}}$

Das zuletzt genannte Integral ermöglicht die Ermittlung der CBC-Werte von Brüchen mit Hilfe einfacher elliptischer Stammfunktionen.

Fakultäten von Kehrwerten der Mersennezahlen

Die Pifunktionswerte der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen ergeben sich stets durch Multiplikation von Potenzen der Zentralbinomialkoeffizienten aus den Zweierpotenz-Vielfachen der genannten Kehrwerte:

Fakultät	CBC-Ausdruck
$\Pi ({\tfrac {1}{7}})$	$({\tfrac {8}{7}})^{1/7}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{7}})^{-4/7}\operatorname {CBC} ({\tfrac {2}{7}})^{-2/7}\operatorname {CBC} ({\tfrac {4}{7}})^{-1/7}$
$\Pi ({\tfrac {1}{15}})$	$({\tfrac {16}{15}})^{1/15}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{15}})^{-8/15}\operatorname {CBC} ({\tfrac {2}{15}})^{-4/15}\operatorname {CBC} ({\tfrac {4}{15}})^{-2/15}\operatorname {CBC} ({\tfrac {8}{15}})^{-1/15}$
$\Pi ({\tfrac {1}{31}})$	$({\tfrac {32}{31}})^{1/31}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{31}})^{-16/31}\operatorname {CBC} ({\tfrac {2}{31}})^{-8/31}\operatorname {CBC} ({\tfrac {4}{31}})^{-4/31}\operatorname {CBC} ({\tfrac {8}{31}})^{-2/31}\operatorname {CBC} ({\tfrac {16}{31}})^{-1/31}$
$\Pi ({\tfrac {1}{63}})$	$({\tfrac {64}{63}})^{1/63}\operatorname {CBC} ({\tfrac {1}{63}})^{-32/63}\operatorname {CBC} ({\tfrac {2}{63}})^{-16/63}\operatorname {CBC} ({\tfrac {4}{63}})^{-8/63}\operatorname {CBC} ({\tfrac {8}{63}})^{-4/63}\operatorname {CBC} ({\tfrac {16}{63}})^{-2/63}\operatorname {CBC} ({\tfrac {32}{63}})^{-1/63}$

Theoreme

Basistheorem

Das grundlegendste Theorem über die Fakultätsfunktion ist:

$x!=\Pi (x)=x\,\Pi (x-1)$

Eulerscher Ergänzungssatz

Im Jahre 1749 hat der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler einen Ergänzungssatz entdeckt, welcher nach ihm benannt wurde. Im nun Folgenden wird der Eulersche Ergänzungssatz mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

$\Pi (x)\,\Pi (1-x)=\pi \,x(1-x)\csc(\pi \,x)$

Legendresche Verdopplungsformel

Im Jahre 1809 hat der französische Mathematiker Adrien Marie Legendre die Verdopplungsformel für die Fakultät entdeckt, welcher mittels Gammafunktionsausdrücken in der Sammlung Mémoires de l'Institut des Sciences et Arts aus dem Institut de France verewigt ist. Auch diese Identität wird hier mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

$\Pi (x)\,\Pi (x+{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{1/2}\,2^{-2x-1}(2x+1)\,\Pi (2x)$

Herleitungen über die Fakultätsfunktion

Herleitung des Eulerschen Integrals

Gegeben ist die diskrete und ebenso ursprünglichste Definition der Fakultätsfunktion für alle natürlichen Zahlen $x\in \mathbb {N}$ nach dem oben genannten Muster:

$x!=\prod _{n=1}^{x}n$

Diese diskret definierte Funktionsdefinition erfüllt folgendes Induktionskriterium aus folgenden zwei verknüpften Formeln:

$x!=x\,(x-1)!$

$0!=1$

Das Eulersche Integral zweiter Art oder zweiter Gattung wurde in einem weiter oben liegenden Absatz genannt und hat diese definierende Formel:

$x!=\Pi (x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y$

Diese Formel ist deswegen gültig, weil sie die nun genannte Induktion erfüllt:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y$

$f(x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }x\,y^{x-1}\exp(-y)\,\mathrm {d} y-\int _{0}^{\infty }{\bigl [}x\,y^{x-1}\exp(-y)-y^{x}\exp(-y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y=$ $=\int _{0}^{\infty }x\,y^{x-1}\exp(-y)\,\mathrm {d} y-{\biggl [}y^{x}\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=\int _{0}^{\infty }x\,y^{x-1}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=xf(x-1)\,\,\,\,\,{\text{mit allen}}\,\,x\in \mathbb {R} ^{+}$

$f(0)=\int _{0}^{\infty }y^{0}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\,\mathrm {d} y=1$

$f(x)=x!=\Pi (x)$

Aus $f(x)=xf(x-1)$ und $f(0)=1$ folgt $f(x)=x!$ direkt.

Herleitung der Produktreihe nach Euler

Bei der Grenzwertbildung gegen Unendlich nimmt die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gausssche Pifunktion immer akkurater die Form einer Exponentialfunktion an. Daraus folgt dieser Grenzwert:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Pi (n)[\Pi (n+1)\div \Pi (n)]^{x}}{\Pi (n+x)}}=1$

Identisch hiermit ist dieser Ausdruck:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Pi (n)^{1-x}\,\Pi (n+1)^{x}}{\Pi (n+x)}}=1$

Für ganze Zahlen n gilt diese aus der Standarddefinition direkt entstehende Formel:

$\Pi (n)^{1-x}\,\Pi (n+1)^{x}=\prod _{m=1}^{n}m^{1-x}(m+1)^{x}$

Das Basistheorem wird in dieser begrenzten Produktformel repräsentiert:

$\Pi (n+x)=\Pi (x)\prod _{m=1}^{n}(m+x)$

Durch Kombination der drei letzten nun genannten Formeln entsteht diese Formel:

$\lim _{n\to \infty }{\biggl [}\prod _{m=1}^{n}m^{1-x}(m+1)^{x}{\biggr ]}\div {\biggl [}\Pi (x)\prod _{m=1}^{n}(m+x){\biggr ]}=1$

Diese Formel kann so weiterverarbeitet werden:

$\Pi (x)=\lim _{n\to \infty }{\biggl [}\prod _{m=1}^{n}m^{1-x}(m+1)^{x}{\biggr ]}\div {\biggl [}\prod _{m=1}^{n}(m+x){\biggr ]}$

$\Pi (x)=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}{\frac {m^{1-x}(m+1)^{x}}{(m+x)}}$

$\Pi (x)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{1-x}(m+1)^{x}}{(m+x)}}$

$\Pi (x)=\prod _{m=1}^{\infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{m}}{\bigr )}^{x}{\bigl (}1+{\frac {x}{m}}{\bigr )}^{-1}$

Ableitung vom natürlichen Logarithmus der Fakultät

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus aus einer Funktion wird offiziell als Logarithmische Ableitung bezeichnet. Sie ist gleich dem Quotient der Ableitung der Numerusfunktion dividiert durch die Numerusfunktion selbst.

Über die Ableitung vom Logarithmus Naturalis aus der Fakultät wird nun die Ableitung der Fakultät selbst ermittelt:

$\Pi (x)^{-1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x){\biggr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln {\bigl [}\,\Pi (x){\bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln {\biggl [}\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{x}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\biggr ]}=$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{n=1}^{\infty }\ln {\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{x}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln {\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{x}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}{\biggr ]}=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl [}x\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}-\ln {\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}-{\frac {1}{n+x}}{\biggr ]}=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\frac {1}{n}}-\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}=\mathrm {H} (x)-\gamma$

Denn für alle reellen Zahlen $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}$ ist die harmonische Reihenfunktion nach Karl Weierstraß so definiert:

$\mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)$

Und die Mascheronische Konstante hat diese Definition:

$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{n}}-\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\biggr ]}$

Aus der gezeigten Gleichungskette folgt nun folgendes Endresultat:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)=\Pi (x){\bigl [}\operatorname {H} (x)-\gamma {\bigr ]}$

Integral der Harmonischen Reihenfunktion von Null bis Eins

Das Integral der harmonischen Reihenfunktion von den Grenzen Null bis Eins ergibt exakt die Mascheronischen Konstante.

Diese Integral kann nun auf folgende drei Weisen dargestellt werden:

Man kann direkt die Definition der Harmonischen Reihe nach Weierstrass verwenden und die betroffene Summenreihe direkt integrieren:

$\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\,\mathrm {d} x=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {x}{n}}-\ln(n+x)\right]_{x=0}^{x=1}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma$

Eine weitere Methode zur Ermittlung erfolgt über eine andere Identität der hamonischen Reihe:

$\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-y}}+{\frac {1}{\ln(y)}}\,\mathrm {d} y=\gamma$

Hierbei wurde der Satz von Fubini angewendet!

Alternativ hierzu kann man die im vorherigen Abschnitt ermittelte Stammfunktion direkt verwenden:

$\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x={\biggl \{}\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}+\gamma \,x{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=\gamma$

Herleitung der Stammfunktion von H über Induktion

Dies ist das Rekursionskriterium der Harmonischen Reihenfunktion:

$\mathrm {H} (x+1)=\mathrm {H} (x)+{\frac {1}{x+1}}$

Für alle Zahlen $w\in \mathbb {N}$ gilt dann auch diese Summe:

$\mathrm {H} (x+w)=\mathrm {H} (x)+\sum _{v=1}^{w}{\frac {1}{x+v}}$

Im Folgenden werden die Integralgrenzen verschoben. So ist dann für alle natürlichen Werte $w\in \mathbb {N}$ die folgende Beziehung gültig:

$\int _{w}^{w+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x+w)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left[\mathrm {H} (x)+\sum _{v=1}^{w}{\frac {1}{x+v}}\right]\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}\sum _{v=1}^{w}{\frac {1}{x+v}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{v=1}^{w}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x+v}}\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{v=1}^{w}{\bigl [}\ln(x+v){\bigr ]}_{x=0}^{x=1}=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{v=1}^{w}\left[\ln(v+1)-\ln(v)\right]=$

$=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\ln(w+1)=\gamma +\ln(w+1)$

Das Resultat dieser Gleichungskette lautet somit wie folgt:

$\int _{w}^{w+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\gamma +\ln(w+1)$

Aus diesem Resultat folgt durch Induktion diese Überleitung:

$\int _{0}^{z+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{u=1}^{z}\int _{u}^{u+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{u=1}^{z}\left[\gamma +\ln(u+1)\right]=\gamma +\sum _{u=1}^{z}\left[\gamma +\ln(u+1)\right]=$

$=\gamma \,(z+1)+\sum _{u=1}^{z}\ln(u+1)=\gamma \,(z+1)+\ln \left[\prod _{u=1}^{z}(u+1)\right]=$

$=\gamma \,(z+1)+\ln \left[(z+1)!\right]=\gamma \,(z+1)+\ln \left[\Pi (z+1)\right]$

Denn die Summe der Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Produkts.

Direkt daraus entsteht dann die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion:

$\int _{0}^{x}\mathrm {H} (y)\,\mathrm {d} y=\gamma \,x+\ln(x!)=\gamma \,x+\ln \left[\Pi (x)\right]$

Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion wird somit auf folgende Weise abgeleitet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)=\Pi (x)\left[\mathrm {H} (x)-\gamma \right]$

Herleitung der Produktreihe nach Weierstraß

Nach der vorherigen Herleitung gilt für alle Werte $x>-1$ auch diese Formel:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {H} (x)$

Wie beschrieben hat die harmonischen Reihenfunktion diese Definition:

$\mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x folgt dann diese Gleichung:

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}$

Die zweite Potenzregel besagt, dass die Exponentialfunktion aus einer Summe gleich dem Produkt aus den Exponentialfunktionen ist:

$\exp {\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}=\prod _{n=1}^{\infty }\exp {\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}$

Durch weitere Anwendung der zweiten Potenzregel entsteht folgender Ausdruck:

$\Pi (x)\exp(\gamma \,x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}^{-1}\exp {\biggl (}{\frac {x}{n}}{\biggr )}$

So kommt direkt die Produktreihe nach Weierstraß hervor, die für alle Zahlen $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}$ Gültigkeit hat:

$x!=\Pi (x)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}^{-1}\exp {\biggl (}{\frac {x}{n}}{\biggr )}$

Anwendungen

Permutationen

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, $n$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$ (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall $n=0$, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern $6!$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher $6\cdot 5$ Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer $6\cdot 5\cdot 4$ Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also

$6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine $k$-elementige Teilmenge aus einer $n$-elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt

$n!=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}{\binom {n}{n-i}}(n-i)^{n}$.

Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 insgesamt 13983816 Möglichkeiten, sich sechs verschiedene Kugeln auszusuchen:

${49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13\,983\,816$

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

Ein anderes Beispiel ist ein Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, aus insgesamt ${\color {red}\mathrm {a} }$ roten, ${\color {green}\mathrm {b} }$ grünen und ${\color {blue}\mathrm {c} }$ blauen Murmeln genau ${\color {Red}\mathrm {d} }$ rote, ${\color {Green}\mathrm {e} }$ grüne und ${\color {Blue}\mathrm {f} }$ blaue Murmeln zu ziehen, wobei man insgesamt $\mathrm {d} +\mathrm {e} +\mathrm {f}$ Murmeln herausnehmen soll, hat folgenden Wert:

$P={\binom {\color {red}a}{\color {Red}d}}{\binom {\color {green}b}{\color {Green}e}}{\binom {\color {blue}c}{\color {Blue}f}}\div {\binom {{\color {red}a}+{\color {green}b}+{\color {blue}c}}{{\color {Red}d}+{\color {Green}e}+{\color {Blue}f}}}={\frac {a!\,b!\,c!\,(d+e+f)!\,(a+b+c-d-e-f)!}{d!\,e!\,f!\,(a-d)!\,(b-e)!\,(c-f)!\,(a+b+c)!}}$

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt ${\color {red}\mathrm {4} }$ roten, ${\color {green}\mathrm {5} }$ grünen und ${\color {blue}\mathrm {6} }$ blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau ${\color {Red}\mathrm {1} }$ rote, ${\color {Green}\mathrm {2} }$ grüne und ${\color {Blue}\mathrm {3} }$ blaue Murmeln befinden, exakt $160/1001$:

$P={\binom {\color {red}4}{\color {Red}1}}{\binom {\color {green}5}{\color {Green}2}}{\binom {\color {blue}6}{\color {Blue}3}}\div {\binom {{\color {red}4}+{\color {green}5}+{\color {blue}6}}{{\color {Red}1}+{\color {Green}2}+{\color {Blue}3}}}={\frac {4\times 10\times 20}{5005}}={\frac {160}{1001}}=0{,}{\overline {159840}}$

Geburtstagsproblem

Das Geburtstagsproblem ist ein stochastisch-kombinatorisches Rätsel über die Fakultät. Bei diesem Rätsel geht es um die Wahrscheinlichkeit, mit der in einer gegebenen Gruppe von insgesamt $n$ Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Der Einfachheit halber geht man dabei von Nicht-Schaltjahren, also Jahren mit 365 Tagen aus. In Abhängigkeit von der Personenzahl $n$ wird diese Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnet:

$P(n)=1-{\frac {365!}{(365-n)!\,365^{n}}}$

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als zehn Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünfzehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als fünfundzwanzig Prozent:

$P(10)=1-{\frac {365!}{355!\,365^{10}}}\approx 0{,}1169481777110776$

$P(15)=1-{\frac {365!}{350!\,365^{15}}}\approx 0{,}2529013197636863$

Taylorsche Reihen und Eulersche Zahl

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen glatter Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktion hat die einfachtste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb$

Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus haben ebenso vorzeichengleiche Reihen, während die Funktionen Sinus und Kosinus alternierende Reihen haben:

$\sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$	$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$
$\cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$	$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}$

Die Eulersche Zahl $\mathrm {e}$ lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

$\mathrm {e} =\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb \approx$

$\approx 2{,}71828182845904523536$

Der Kehrwert der Eulerschen Zahl wird durch die alternierende Differenz desselben Musters hervorgebracht:

${\frac {1}{\mathrm {e} }}={\frac {1}{\exp(1)}}=\exp(-1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}\pm \dotsb \approx$

$\approx 0{,}3678794411714423215955$

Wenn auf die gleiche Weise die Taylorschen Reihen mit den Quadraten der Fakultäten im Nenner in Abhängigkeit vom Index hervorgerufen werden, dann sind die zugehörigen erzeugenden Funktionen die Besselschen Funktionen aus der Gruppe der nicht elementaren Funktionen:

$\mathrm {I} _{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{4^{k}(k!)^{2}}}=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cosh {\bigl [}x\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y$

$\mathrm {J} _{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{4^{k}(k!)^{2}}}=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cos {\bigl [}x\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y$

Die Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fakultäten ergibt somit diesen Wert:

$\mathrm {I} _{0}(2)=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cosh {\bigl [}2\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k!)^{2}}}={\frac {1}{(0!)^{2}}}+{\frac {1}{(1!)^{2}}}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}+{\frac {1}{(3!)^{2}}}+{\frac {1}{(4!)^{2}}}+\dotsb \approx$

$\approx 2{,}2795853023360672674372$

Und die zugehörige alternierende Differenz ergibt folgenden Wert:

$\mathrm {J} _{0}(2)=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cos {\bigl [}2\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k!)^{2}}}={\frac {1}{(0!)^{2}}}-{\frac {1}{(1!)^{2}}}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}-{\frac {1}{(3!)^{2}}}+{\frac {1}{(4!)^{2}}}\pm \dotsb \approx$

$\approx 0{,}2238907791412356680518$

Die Besselschen Funktionen spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. So tauchen sie in der Mechanik bei der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, in der Thermodynamik bei der Wärmeleitung in Stäben, in der Elektrodynamik bei der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, in der Optik bei der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern und in der Atomphysik bei der Leistungsverteilung in Kernreaktoren auf.

Numerische Berechnung und Näherung

Die Fakultät und die Stirlingformel

Rekursive und iterative Berechnung

Der numerische Wert für $n!$ kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls $n$ nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist $69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},$ da $70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}$ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist $170!\approx 7{,}3\cdot 10^{306}$.

Pythonprogramm

Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Rekursive Lösung

def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Näherung mit der Stirling-Formel

Wenn $n$ groß ist, bekommt man eine gute Näherung für $n!$ mit Hilfe der Stirling-Formel:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

Dabei bedeutet $\sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\to \infty$ gegen $1$ konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:

$n!\sim {\sqrt {(2n+1/3)\pi }}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

Fakultät-ähnliche Funktionen

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion

Die Gammafunktion

Die Gammafunktion $\Gamma (z)$ verallgemeinert die Fakultät und ist eine stetige Fortsetzung ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den komplexen Zahlen:

$z!=\Gamma (z+1),\qquad z\in \mathbb {C}$, $\Re {(z)}>0$

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{(-\log {t})^{z-1}\mathrm {d} t}$

Für $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{\leq 0}}$ kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:

$\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+z)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

Faktorielle

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen $(n)_{k}$ und $(n)^{k}$ dar, denn $(n)_{n}=(1)^{n}=n!$.

Primorial (Primfakultät)

n	n#	n	n#
1	1	5	30
2	2	6	30
3	6	7	210
4	6	8	210

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

$n_{\#}=\prod _{\scriptstyle p\,=\,2 \atop \scriptstyle p\,\in \,\mathbb {P} }^{n}p\quad$

Subfakultät

n	!n	n	!n
1	0	5	44
2	1	6	265
3	2	7	1854
4	9	8	14833

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

$!n=n!\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von $n$ Elementen.

Doppelfakultät

n	n!!	n	n!!
1	1	5	15
2	2	6	48
3	3	7	105
4	8	8	384

Definition

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade $n$ das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich $n$. Für ungerade $n$ ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich $n$.

Sie ist definiert als:

$n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 2&{\text{für }}n{\text{ gerade und }}n>0,\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dotsm 1&{\text{für }}n{\text{ ungerade und }}n>0,\\1&{\text{für }}n\in \{-1,0\}\end{cases}}$

Oft werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt:

$(2k)!!=2^{k}k!$     und     $(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}$

Werden nicht-ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass $n!!=n\cdot (n-2)!!$ für alle ungeraden ganzen Zahlen $n$ gilt. Man erhält die Formel $n!!={\tfrac {1}{n+2}}\cdot {\tfrac {1}{n+4}}\dotsm {\tfrac {1}{1}}$ für ungerade $n<0$.

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.

Beispiele

• $6!!=6\cdot 4\cdot 2=48$
• $7!!=7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105$

Anwendungsbeispiele

• Die Anzahl $P_{2n}$ der $n$-stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus $2n$ Elementen wird gegeben durch die Rekursion $P_{2n}=(2n-1)P_{2n-2}$ mit Rekursionsanfang $P_{2}=1$ (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt $P_{2n}=(2n-1)!!$. Sollen z. B. $2n$ Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch ${\frac {P_{2n-2}}{P_{2n}}}={\frac {1}{2n-1}}$.
• Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe $B_{n}$ ist $(2n-1)!!$.
• Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von $2n$ Elementen ist $(2n)!!$.
• Das $2n$-te Moment der Standardnormalverteilung ist $(2n-1)!!$.
• Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
• Für natürliche $n$ gilt $(2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$.

Multifakultät

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache ($n!!!$), vierfache ($n!!!!$), …, $k$-fache Fakultät ($n!^{(k)}$) rekursiv definiert als

$n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{falls }}n=0\\n&{\text{falls }}0<n\leq k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{falls }}n>k\end{cases}}$

Verwandte Funktionen

• Smarandache-Funktion

Superfakultät und Hyperfakultät

Natürlicher Logarithmus der Fakultät

Folgende Integralidentität für den Logarithmus naturalis der Fakultätsfunktion ist gültig:

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)+xy-1}{y{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y$

Diese nun gezeigte Gleichung kommt auch durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich $x$ von folgender Formel hervor:

$\operatorname {H} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-\exp(-xy)}{\exp(y)-1}}\,\mathrm {d} y$

Aus der gezeigten Formel kann das Element der Mascheroni-Konstante so entfernt werden:

$\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{y}}{\biggl \{}x\exp(-y)-{\frac {1-\exp(-xy)}{\exp(y)-1}}{\biggr \}}\,\mathrm {d} y$

Für nähere Herleitungen siehe den Artikel Euler-Mascheroni-Konstante.

Für die Debyeschen Funktionen gilt:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{z}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x=\Pi (z)\,\zeta (z+1)$

Die zuvor genannte Integralidentität für die Harmonische Reihenfunktion kann so dargestellt werden:

$\operatorname {H} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-\exp(-xy)}{\exp(y)-1}}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(y)-1}}{\biggl [}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(xy)^{2m-1}}{\Pi (2m-1)}}-{\frac {(xy)^{2m}}{\Pi (2m)}}{\biggr ]}\mathrm {d} y$

$=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(y)-1}}{\biggl [}{\frac {(xy)^{2m-1}}{\Pi (2m-1)}}-{\frac {(xy)^{2m}}{\Pi (2m)}}{\biggr ]}\mathrm {d} y=$

$=\sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2m-1}}{\Pi (2m-1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2m-1}}{\exp(y)-1}}\,\mathrm {d} y-{\frac {x^{2m}}{\Pi (2m)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2m}}{\exp(y)-1}}\,\mathrm {d} y{\biggr ]}=$

$=\sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\Pi (2m-1)\zeta (2m)x^{2m-1}}{\Pi (2m-1)}}-{\frac {\Pi (2m)\zeta (2m+1)x^{2m}}{\Pi (2m)}}{\biggr ]}=$

$=\sum _{m=1}^{\infty }{\bigl [}\zeta (2m)x^{2m-1}-\zeta (2m+1)x^{2m}{\bigr ]}$

Die folgende Formel kann darauf aufgestellt werden:

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m}}\,x^{2m}-{\frac {\zeta (2m+1)}{2m+1}}\,x^{2m+1}{\biggr ]}$

Jedoch ist diese Formel nur für Werte $|x|\leq 1$ gültig beziehungsweise konvergent.

Im Herleitungsteil über die Produktreihe nach Weierstrass wurde neben der nun genannten Produktreihe auch eine Summenreihe gezeigt, welche die Basis der Herleitung der Produktreihe darstellt. Und auch mit dieser Summenreihe kann die jetzt gezeigte Reihe mit der Zetafunktion hergeleitet werden:

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}$

Die soeben genannte Formel mit der Riemannschen Zetafunktion geht dann durch Darstellung der soeben gezeigten Formel mittels Stammfunktion der geometrischen Reihe und anschließenden Einsatz der Definition der Riemannschen Zetafunktion hervor:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

Superfakultät

Der Begriff Superfakultät $\operatorname {sf} (n)$ wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet. Schwerpunktmäßig jedoch wird die Superfakultät als das Produkt der ersten $n$ Fakultäten grundlegend definiert:

$\operatorname {sf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\ \dotsm \ n!=G(n+2)$

Dabei bezeichnet $G$ die Barnessche G-Funktion.

Für alle natürlichen Zahlen identisch mit der soeben genannten Definition sind diese beiden Definitionen, welche die Superfakultät für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}$ definieren:

$\operatorname {sf} (x)=\Pi (x)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}$ $\operatorname {sf} (x)=\Gamma (x+1)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}$

Für die Superfakultät sollen im Folgenden einige Werte genannt werden:

$\operatorname {sf} (0)=1$

$\operatorname {sf} (1)=1$

$\operatorname {sf} (2)=2$

$\operatorname {sf} (3)=12$

$\operatorname {sf} (4)=288$

$\operatorname {sf} (5)=34560$

Diese Werte sind in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolge unter dem Code OEIS: A000178 eingetragen.

Von anderen Mathematikern wurde der Begriff Superfakultät auch als mehrfache Potenz einer Fakultät verwendet:

$n\$=\underbrace {n!^{{n!}^{{\,\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot \,}^{n!}}}}}} _{n!}$

Hyperfakultät

Die Hyperfakultät $\operatorname {hf} (n)$ ist für natürliche $n$ folgendermaßen definiert:

$\operatorname {hf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 4^{4}\dotsm n^{n}$

Sie kann durch die stochastische K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Es gilt hierfür folgende Formel:

$\operatorname {hf} (x)=K(x+1)$

Hierbei sollte diese K-Funktion keinesfalls mit dem elliptischen K-Integral verwechselt werden.

So gelten diese Definitionsformeln für die Hyperfakultät in Abhängigkeit von der Gaußschen Pifunktion beziehungsweise Eulerschen Gammafunktion:

$\operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Pi (xy){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}$ $\operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Gamma (xy+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}$

Und es gilt die folgende Definitionsformel für die Hyperfakultät dargestellt als unendliche Produktreihe:

$\operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi )-\gamma \,x{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-n-x}\exp \left({\frac {x^{2}}{2n}}+x\right){\biggr ]}$

Basierend auf den genannten Definitionen gilt somit folgende Beziehung zwischen Hyperfakultät und Superfakultät:

$\operatorname {hf} (x)\operatorname {sf} (x)=(x!)^{x+1}=\Pi (x)^{x+1}=\Gamma (x+1)^{x+1}$

Für die Hyperfakultät sollen im Folgenden einige Werte genannt werden:

$\operatorname {hf} (0)=1$

$\operatorname {hf} (1)=1$

$\operatorname {hf} (2)=4$

$\operatorname {hf} (3)=108$

$\operatorname {hf} (4)=27648$

$\operatorname {hf} (5)=86400000$

Diese Werte sind in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolge unter dem Code OEIS: A002109 eingetragen.

Dies sind die Gleichungen, die im Abschnitt Natürlicher Logarithmus der Fakultät genannt wurden:

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}$

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m}}\,x^{2m}-{\frac {\zeta (2m+1)}{2m+1}}\,x^{2m+1}{\biggr ]}$

$\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)+xy-1}{y{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich $x$ bei diesen Formeln entstehen nun folgenden Formeln:

${\frac {x}{2}}{\bigl [}\gamma \,x-x-1+\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\ln {\bigl [}\operatorname {hf} (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2}}{2n}}-(n+x)\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}$

${\frac {x}{2}}{\bigl [}\gamma \,x-x-1+\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\ln {\bigl [}\operatorname {hf} (x){\bigr ]}=\sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m(2m+1)}}\,x^{2m+1}-{\frac {\zeta (2m+1)}{(2m+1)(2m+2)}}\,x^{2m+2}{\biggr ]}$

${\frac {x}{2}}{\bigl [}\gamma \,x-x-1+\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\ln {\bigl [}\operatorname {hf} (x){\bigr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}y^{2}-2\,xy+2-2\exp(-xy)}{2\,y^{2}{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y$

Glaisher-Kinkelin-Konstante

Die Superfakultät und die Hyperfakultät werden zur Definition der Glaisher-Kinkelin-Konstante angewendet:

$A=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\operatorname {sf} (n)}}\exp \left[\left({\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{12}}\right)\ln(n)+{\frac {1}{2}}n\ln(2\,\pi )-{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {1}{12}}\right]$

$A=\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {hf} (n)}{\exp {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{12}}{\bigr )}\ln(n)-{\tfrac {1}{4}}n^{2}{\bigr ]}}}$

Diese beiden genannten Definitionen stimmen miteinander überein. Ebenso mit diesen Definitionen übereinstimmend ist diese Abel-Plana-Integraldarstellung für die Glaisher-Kinkelin-Konstante:

$A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{3}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\exp(\pi \,x)\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}$

$A\approx 1{,}28242712\,\,\,91006226\,\,\,36875342\,\,\,56886979\,\,\,17277676\,\,\,88927325$

Und die Glaisher-Kinkelin-Konstante findet beispielsweise bei den Riemannschen und Dirichletschen Funktionen Anwendung:

Abszissenwerte x	Riemannsche Zetaableitung	Dirichletsche Lambdaableitung	Dirichletsche Etaableitung
$+2$	$\zeta '(2)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}{\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\pi )-\gamma {\bigr ]}$	$\lambda '(2)=-{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}{\bigl [}36\ln(A)-\ln(16\pi ^{3})-3\,\gamma {\bigr ]}$	$\eta '(2)={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}{\bigl [}\ln(4\pi )-12\ln(A)+\gamma {\bigr ]}$
$-1$	$\zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln(A)$	$\lambda '(-1)=\ln(A)-{\tfrac {1}{6}}\ln(2)-{\tfrac {1}{12}}$	$\eta '(-1)=3\ln(A)-{\tfrac {1}{3}}\ln(2)-{\tfrac {1}{4}}$

Primzahlexponenten

Falls nicht die vollständige Zahl $n!$ gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

$v_{p}(n!)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<p\\\lfloor n/p\rfloor +v_{p}(\lfloor n/p\rfloor !)&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Hier steht $v_{p}(k)$ für den Exponenten von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $k$.

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

${\begin{aligned}v_{5}(10{.}000!)&=2{.}000+v_{5}(2{.}000!)=2{.}000+400+v_{5}(400!)\\&=2{.}400+80+v_{5}(80!)=2{.}480+16+v_{5}(16!)\\&=2{.}496+3+v_{5}(3!)=2{.}499\end{aligned}}$

Literatur

• Leonhard Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), in Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
• Leonhard Euler: Evolutio formulae integralis $\displaystyle \textstyle \int \!x^{f-1}\mathrm {d} x(lx)^{\frac {m}{n}}$ integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. 4. Juli 1771, in Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
• Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), in Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856), in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de).
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics 7, 1878, S. 43–47 (englisch); Textarchiv – Internet Archive.

Weblinks

Wiktionary: Fakultät – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms. Effiziente Algorithmen und weitere Informationen (englisch).
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch).