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Fakultät (Mathematik)

Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
10 3.628.800
20 2,432… · 1018
50 3,041… · 1064
100 9,332… · 10157

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit“ dafür einführte.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Für alle natürlichen Zahlen   ist

 

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis   definiert. Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt

 

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

 

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente (siehe Abschnitt Gammafunktion).

BeispieleBearbeiten

 
Diagramm von 0! bis 4!
 

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Explizite Fakultätswerte von 0 bis 20
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5.040
8! 40.320
9! 362.880
10! 3.628.800
11! 39.916.800
12! 479.001.600
13! 6.227.020.800
14! 87.178.291.200
15! 1.307.674.368.000
16! 20.922.789.888.000
17! 355.687.428.096.000
18! 6.402.373.705.728.000
19! 121.645.100.408.832.000
20! 2.432.902.008.176.640.000

AnwendungenBearbeiten

PermutationenBearbeiten

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil   die Anzahl der Möglichkeiten ist,   unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls   eine  -elementige Menge ist, so ist   auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen   (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall  , da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern   verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher   Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer   Belegungsmöglichkeiten ergeben, usw. Letztlich gibt es also

 

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

BinomialkoeffizientenBearbeiten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

 .

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine  -elementige Teilmenge aus einer  -elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt

 .

Hier ist das beliebteste Beispiel, das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

 

Möglichkeiten.

TaylorreihenBearbeiten

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Eulersche ZahlBearbeiten

Die eulersche Zahl   lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

 

Numerische Berechnung und NäherungBearbeiten

 
Die Fakultät und die Stirlingformel

Rekursive und iterative BerechnungBearbeiten

Der numerische Wert für   kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls   nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist   da   außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist  .

PythonprogrammBearbeiten

Umsetzung der Fakultätberechnung in ein Pythonprogramm (in der Programmiersprache Python kann mit beliebig großen ganzen Zahlen gerechnet werden, Grenzen setzt lediglich der verfügbare Speicher).

Auf einem Intel Pentium 4 benötigt zum Beispiel die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

#!/usr/bin/env python3
# Syntax: Python 3.3.0
n = int(input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print(n,'! = ',f)
#!/usr/bin/env python
# Syntax: Python 2.7
n = int(raw_input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print n,'! = ',f

Java-ProgrammBearbeiten

public static int factorial(int n) {
    int val = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        val *= i;
    }
    return val;
}

Rekursive Lösung

public int factorial(int n) {
	if(n == 1) 
		return 1;
	return factorial(n - 1) * n;
}

Näherung mit der Stirling-FormelBearbeiten

Wenn   groß ist, bekommt man eine gute Näherung für   mit Hilfe der Stirling-Formel:

 

Dabei bedeutet  , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für   gegen   konvergiert.

Fakultät-ähnliche FunktionenBearbeiten

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

GammafunktionBearbeiten

 
Die Gammafunktion

Die Gammafunktion   verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

 
 

FaktorielleBearbeiten

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen   und   dar, denn  .

Primorial (Primfakultät)Bearbeiten

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

 

SubfakultätBearbeiten

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

 

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von   Elementen.

DoppelfakultätBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade   das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich  . Für ungerade   ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich  .

Sie ist definiert als:[1]

 

Häufig werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt

      und      

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, so dass   für alle ungeraden ganzen Zahlen   gilt. Man erhält die Formel   für ungerade  .

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.

BeispieleBearbeiten

  •  
  •  

AnwendungsbeispieleBearbeiten

  • Die Anzahl   der  -stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus   Elementen wird gegeben durch die Rekursion   mit Rekursionsanfang   (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt  . Sollen z. B.   Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch  .
  • Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe   ist  .
  • Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von   Elementen ist  .
  • Das  -te Moment der Standardnormalverteilung ist  .
  • Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
  • Für natürliche   gilt  .

MultifakultätBearbeiten

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache ( ), vierfache ( ), …,  -fache Fakultät ( ) rekursiv definiert als

 [2]

SuperfakultätBearbeiten

Der Begriff Superfakultät   wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet;[3] die eine ist definiert als das Produkt der ersten Fakultäten:

 [3]

mit der Barnes’schen Funktion  , die andere als mehrfache Potenz einer Fakultät

 

HyperfakultätBearbeiten

Die Hyperfakultät   ist für natürliche   folgendermaßen definiert:

 [4]

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Verwandte FunktionenBearbeiten

PrimzahlexponentenBearbeiten

Falls nicht die vollständige Zahl   gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, so lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

 

Hier steht   für den Exponenten von   in der Primfaktorzerlegung von  .

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

 

WeblinksBearbeiten

  Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten