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Kommutativgesetz

Regel der Algebra die erlaubt, Argumente einer Operation zu tauschen
(Weitergeleitet von Kommutativität)
Eine Verknüpfung ist kommutativ, wenn stets gilt. In dieser Abbildung wird die Vorstellung einer Operation als Maschine genutzt, die aus zwei Eingaben ein Ergebnis macht. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, dann ist es egal, in welcher Reihenfolge die Eingaben und auftreten – das Ergebnis ist dasselbe wie .

Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Wenn sie gilt, können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz unterliegen, nennt man kommutativ.

Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

Inhaltsverzeichnis

Formale DefinitionBearbeiten

Es seien   und   Mengen. Eine binäre Verknüpfung   heißt kommutativ, wenn für alle   die Gleichheit   gilt.

Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

 
Die Vektoraddition ist kommutativ, weil   ist.

Reelle ZahlenBearbeiten

 
Die Addition natürlicher Zahlen ist kommutativ.

Für reelle Zahlen   gilt stets

 

und

 ,

die Operationen Addition und Multiplikation sind also kommutativ. Die erste Formel wird auch Kommutativgesetz der Addition, die zweite Kommutativgesetz der Multiplikation genannt. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen sind dagegen keine kommutative Operationen. Auch die Potenzierung ist nicht kommutativ (  ist ein Gegenbeispiel).

Die älteste überlieferte Form des Kommutativgesetzes der Addition ist die sumerische Fabel vom klugen Wolf und den neun dummen Wölfen.

SkalarprodukteBearbeiten

  • Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ, es gilt also stets  .
  • Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr  , wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

MengenoperationBearbeiten

In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen; für Mengen   gilt also stets:

  (Vereinigung)
  (Schnitt)

Dagegen ist die Differenz nicht kommutativ.   und   sind also manchmal verschiedene Mengen, z. B. für   und  , denn dann wäre   und  .

MatrizenrechnungBearbeiten

Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen nicht kommutativ: Die Faktoren sind zwar manchmal, aber nicht immer vertauschbar.

Ebenfalls kommutativ sind die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren und die Matrizenmultiplikation im Unterring der Diagonalmatrizen.

GruppentheorieBearbeiten

Allgemein nennt man eine Gruppe, bei der die Verknüpfung von Gruppenelementen kommutativ ist, abelsch.

AussagenlogikBearbeiten

In der Aussagenlogik gilt für die Junktoren:

  •   („oder“) ist kommutativ.
  •   („und“) ist kommutativ.
  •   („logische Äquivalenz“) ist kommutativ.
  •   („wenn …, dann …“; siehe Implikation) ist nicht kommutativ.

Weitere BeispieleBearbeiten

Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen oder die Multiplikation von Quaternionen.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Quantenmechanik, das Kommutieren zweier Observablen bedeutet physikalisch deren gleichzeitige genaue Messbarkeit. Nicht alle Observablen kommutieren.

AntikommutativitätBearbeiten

In einigen Strukturen mit zwei Operationen, beispielsweise beim Kreuzprodukt   in Vektorräumen, gilt nicht das Kommutativgesetz, sondern stattdessen eine Art Gegenteil davon:

 .

Allgemeiner erfüllt das Produkt auf einer Lie-Algebra, das als   geschrieben wird, die Antikommutativität.

AnmerkungenBearbeiten

Symmetrische Relation

Die Kommutativität, die das Vertauschen von Argumenten bei einer Operation erlaubt, weist Ähnlichkeit mit der Symmetrie-Eigenschaft von Relationen auf, die das Vertauschen der verglichenen Elemente bzgl. der Relation erlaubt:   genau dann, wenn  .

Flexibilitätsgesetz

Eine alternative Möglichkeit des „Um-Klammerns“ bietet das Flexibilitätsgesetz für eine Verknüpfung *:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten