Multinomialtheorem
In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.
Formel
BearbeitenDas Multinomialtheorem besagt, dass
Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Multinomialkoeffizienten
- ,
die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.
Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex :
Dabei identifiziert man mit dem Vektor .
Beispiel
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Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man
.
Anwendung
BearbeitenAls Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung
- für alle mit ,
also
- .
Herleitung
BearbeitenDas Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt aus, so liest es sich als
- .
Beim Ausmultiplizieren der gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form mit . Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt entsteht dadurch, dass aus Klammerausdrücken -mal die Zahl ausgewählt wurde, -mal die Zahl ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade Möglichkeiten.
Formelle Beweise
BearbeitenDas Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)
- Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)
Weblinks
Bearbeiten- Norbert Henze: Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz In: KIT-Bibliothek Medienportal