Multinomialtheorem

mathematischer Satz

In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

FormelBearbeiten

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen   und   definiert als

 

Der Multinomialsatz lautet dann

 

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex  :

 

Dabei identifiziert man   mit dem Vektor  .

AnwendungBearbeiten

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

  für alle   mit  ,

also

 .

BeweisskizzeBearbeiten

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über   unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten