Multinomialtheorem

mathematischer Satz

In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Das Multinomialtheorem besagt, dass

 

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Multinomialkoeffizienten

 ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex  :

 

Dabei identifiziert man   mit dem Vektor  .

Beispiel

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Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man

 .

Anwendung

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Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

  für alle   mit  ,

also

 .

Herleitung

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Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt   aus, so liest es sich als

 .

Beim Ausmultiplizieren der   gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe   genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form   mit  . Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt   entsteht dadurch, dass aus   Klammerausdrücken  -mal die Zahl  ausgewählt wurde,  -mal die Zahl  ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade   Möglichkeiten.

Formelle Beweise

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Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über   unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

Siehe auch

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Literatur

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