Hauptmenü öffnen

Polynom

Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen
Die Artikel Polynom und Ganzrationale Funktion überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zusammenzuführen (→ Anleitung). Beteilige dich dazu an der betreffenden Redundanzdiskussion. Bitte entferne diesen Baustein erst nach vollständiger Abarbeitung der Redundanz und vergiss nicht, den betreffenden Eintrag auf der Redundanzdiskussionsseite mit {{Erledigt|1=~~~~}} zu markieren. Menner (Diskussion) 10:59, 2. Dez. 2017 (CET)

Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variable. ist das Summenzeichen, das jeweilige Vielfache und die Variable:

Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen heißen formale Potenzreihen.

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesem Begriff und dem eines Polynoms als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Grad eines Polynoms, Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms, Polynomglied, Absolutglied, Binom; sowie Nullstellenschranke, Cauchy-Regel, Newton-Regel, gerade und ungerade Potenz.

Inhaltsverzeichnis

EtymologieBearbeiten

Das Wort Polynom bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklids Elemente. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe   ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung Polynom geht auf Vieta zurück: In seiner Isagoge (1591) verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.[1]

Polynome in der elementaren AlgebraBearbeiten

 
Graph einer Polynomfunktion 5. Grades

DefinitionBearbeiten

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion   der Form

 ,

wobei als Definitionsbereich für die (unabhängige) Variable   jede beliebige  -Algebra in Frage kommt, wenn   der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen.

  • Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent   bezeichnet, für den der Koeffizient   des Monoms   nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient (auch: führender Koeffizient). (Die Schreibweise   für den Grad des Polynoms   ist vom englischen Begriff degree abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise   oder  .)
  • Für das Nullpolynom, bei dem alle   Null sind, wird der Grad als   definiert.[2]
  • Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert oder auch monisch.
  • Sind die Koeffizienten teilerfremd, bzw. ist der Inhalt 1, dann heißt das Polynom primitiv.

Der Koeffizient   heißt Absolutglied.   wird als lineares Glied bezeichnet,   als quadratisches Glied und   als kubisches.

Einfaches BeispielBearbeiten

Durch

 

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3). In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von  ), die weiteren Koeffizienten lauten: 1; 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller PolynomeBearbeiten

Polynome des Grades

  • 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 1 werden lineare Funktionen oder genauer affin lineare Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 4 werden quartische Funktionen oder biquadratische Funktionen genannt (z. B.  ).

Nullstellen des PolynomsBearbeiten

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln oder Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von   bezeichnet, für die der Funktionswert   null ist, d. h., die die Gleichung   erfüllen. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Allgemeine EigenschaftenBearbeiten

  • Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad   größer oder gleich 1 mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann hat es genau   Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom   eine doppelte Nullstelle bei  . Jedes Polynom positiven Grades lässt sich daher in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.
  • Jede rationale Nullstelle eines normierten Polynoms (höchster Koeffizient ist 1) mit ganzzahligen Koeffizienten ist ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes, etwas allgemeiner gilt der Satz über rationale Nullstellen.
  • Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren (Satz von Abel-Ruffini).
  • Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.

NullstellenschrankenBearbeiten

Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad   lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Reelle NullstellenschrankenBearbeiten

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl   heißt reelle Nullstellenschranke des reellen Polynoms  , wenn alle reellen Nullstellen von   im Intervall   liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von  , wenn alle reellen Nullstellen von   kleiner oder gleich   sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome  , jedes Polynom kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge   der echt negativen Koeffizienten von   eine besondere Rolle,   bezeichnet deren Anzahl.

  •   ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),
  •   ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel),
  •   ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Regel von Lagrange und Maclaurin), dabei bezeichnet   den Betrag des betragsgrößten negativen Koeffizienten und   den Exponenten des höchsten Gliedes mit negativem Koeffizienten;
  • Jedes  , das die Ungleichung
 
erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (solche   sind sogar Schranken für die Beträge komplexer Nullstellen komplexer Polynome). Spezialfälle hiervon sind (siehe auch Satz von Gerschgorin)
    •   und
    •  .
Komplexe NullstellenschrankenBearbeiten

Für komplexe Polynome   sind als Pendant zu den reellen Nullstellenschranken Kreise um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene üblich, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen des Polynoms auf der Kreisscheibe mit diesem Radius liegen. Eine Zahl   heißt komplexe Nullstellenschranke des komplexen Polynoms  , wenn alle Nullstellen von   auf der Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius   liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich   ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynome ist:

  • Jedes  , das die Ungleichung
 
erfüllt, definiert einen Kreis in der komplexen Ebene mit Radius   um den Nullpunkt, der genau   komplexe Nullstellen enthält (Folgerung aus dem Satz von Rouché). Diese Ungleichung ist für   immer lösbar, aber nicht notwendig für jeden Index  .
  • Im Fall   ergibt sich die schon für reelle Polynome angegebene Schranke für den Betrag aller Nullstellen. Alle dort angegebenen direkten Berechnungen von   gelten weiter.
  • Im Fall   ergibt sich ein Kreis, der keine Nullstellen enthält.   ist dann eine Schranke für alle Nullstellen des „reziproken“ Polynoms  .

LösungsformelnBearbeiten

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen. Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren oder das Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.

Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und quartische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln, für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

  • Reziproke Polynome haben die Form
 
d. h. für den  -ten Koeffizienten gilt  ; anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der Substitution   (bzw.  ) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist. Für Details siehe reziprokes Polynom.
  • Binome haben die Form  
Setzen wir   als reell voraus, so sind die   Lösungen Vielfache der komplexen  -ten Einheitswurzeln:
 
 ,
wobei   durchläuft.
  • Polynome, die nur gerade Potenzen von   enthalten, haben die Form:
 
Die Lösung erfolgt durch die Substitution  . Hat man eine Lösung für   gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für   abzuleiten sind:
  und  
  • Polynome, die nur ungerade Potenzen von   enthalten, haben die Form:
 
Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch   aus und behandelt es dann wie ein Polynom  -ten Grades, welches nur gerade Potenzen von   enthält.

Polynome in der linearen AlgebraBearbeiten

Polynome in der abstrakten AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes  . Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes   durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element  . Damit enthält   die Potenzen  ,   und deren Linearkombinationen   mit  . Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

 

seiner Koeffizienten charakterisiert.

KonstruktionBearbeiten

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings   durch die Menge der endlichen Folgen in   konstruiert werden. Dazu wird auf   eine Addition „ “ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „ “ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also   und  , so ist

 

und

 

  mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Variablen) über  .

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge  , so dass  ,   etc., so kann jede Folge   wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

 

Zusammenhang mit der analytischen DefinitionBearbeiten

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl   existiert, so dass   für alle   gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom   über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als  . Dabei ist   jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes  ) und   ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge  . Man kann jedoch   als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise   der Restklassenring  , so induzieren die Polynome  

 

und

das Nullpolynom  

beide die Nullabbildung  , das heißt:   für alle  

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in   bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von   in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Polynome in mehreren UnbestimmtenBearbeiten

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form   als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

 
Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Durch eine Monomordnung ist es möglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe   heißt der Totalgrad eines Monoms  . Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades[3] ist

 
Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei   die Anzahl der vorkommenden Variablen und   der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades   bis  , erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:

 
Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Variablen nicht ändert.

Auch die Polynome in den   Unbestimmten  über dem Ring   bilden einen Polynomring, geschrieben als  .

Formale PotenzreihenBearbeiten

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

 
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Laurent-Polynome und Laurent-ReihenBearbeiten

Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein Laurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale Laurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form

 
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a−i (mal) (Groß-) x hoch i“

PosynomialfunktionenBearbeiten

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

LiteraturBearbeiten

  • Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage.
  • Holz, Wille: Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.
  • Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra.

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Polynom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. cf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“
  2. Für die Zweckmäßigkeit dieser Setzung siehe Division mit Rest.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.