Symmetrisches Polynom

In der Mathematik heißt ein Polynom in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

Formale DefinitionBearbeiten

Es seien   eine natürliche Zahl,   ein Ring. Dann heißt ein Polynom   symmetrisch in  , wenn

  für alle Permutationen  

gilt.

Äquivalente Beschreibungen sind:

  • Für alle   ist
 
das heißt, man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.
  • Es sei
 
Dann ist   genau dann symmetrisch, wenn
  für alle  
gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von   nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.
 
auf dem Polynomring  . Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn
  für alle  
gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb
 

Körper der symmetrischen FunktionenBearbeiten

Wir ersetzen nun den Grundring   durch einen Grundkörper  . Der Körper der symmetrischen Funktionen   ist analog zu obiger Definition der Fixkörper unter  , also:  .
Die Körpererweiterung   ist galoissch mit Galoisgruppe   und hat damit Grad  

BeispieleBearbeiten

  • Das Polynom   ist symmetrisch in   und  , jedoch nicht symmetrisch in  .
  • Aus jedem beliebigen Polynom   in den Variablen   lässt sich ein symmetrisches Polynom bilden, indem man die Bilder unter den Permutationen addiert, also:
 

Elementarsymmetrische PolynomeBearbeiten

Eine besonders wichtige Sorte symmetrischer Polynome sind die sog. elementarsymmetrischen Polynome. Sie sind Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad)   von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad   gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom  .

BeispieleBearbeiten

  • Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen  ,   sind
  sowie  
  • In drei Variablen  ,  ,   hat man die drei elementarsymmetrischen Polynome
 

PotenzsummenBearbeiten

Mit den Potenzsummen

 ,  

für   hat man eine weitere Sorte symmetrischer Polynome. Sie sind über die Newton-Identitäten mit den elementarsymmetrischen Polynomen   verbunden. Für   hat man beispielsweise:

  •  
  •  
  •  

Und umgekehrt:

  •  
  •  
  •  

Enthält der Ring   die rationalen Zahlen  , so gilt ein ähnlicher Satz wie bei den elementarsymmetrischen Polynomen:

  • Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in Potenzsummen schreiben.
  • Diese Darstellung ist eindeutig.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten