Fahnenmannigfaltigkeit

homogener Raum mit Fahnen als Punkte

In der Mathematik ist eine Fahnenmannigfaltigkeit der Raum der vollständigen Fahnen in einem Vektorraum oder allgemeiner der Quotient einer halbeinfachen algebraischen Gruppe nach einer borelschen Untergruppe. Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten.

Fahnenmannigfaltigkeit eines VektorraumsBearbeiten

Eine vollständige Fahne in einem endlichdimensionalen (reellen oder komplexen) Vektorraum   ist eine Folge

 

von Untervektorräumen von   mit   und  , so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

 

und so dass

 

für   gilt, insbesondere also  .

Die allgemeine lineare Gruppe   wirkt transitiv auf der Menge aller vollständigen Fahnen, die Stabilisatoren einer Fahne sind konjugiert zur Gruppe   der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. Es gibt also eine Bijektion zwischen   und der Menge aller vollständigen Fahnen. Deshalb wird

 

als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet.

Die kanonische Einbettung in das Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten

 

macht die Fahnenmannigfaltigkeit zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und (vermittels der Plücker-Einbettung der Graßmann-Mannigfaltigkeiten) zu einer projektiven Varietät.

Verallgemeinerte FahnenmannigfaltigkeitenBearbeiten

Es sei   eine halbeinfache Liegruppe und   eine Borel-Gruppe, d. h. eine minimale parabolische Untergruppe von  . Dann heißt der homogene Raum   verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeit. Falls   eine algebraische Gruppe ist, ist   eine projektive Varietät.

Die obigen Beispiele der Fahnenmannigfaltigkeiten eines Vektorraums erhält man für   oder   und   die Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

LiteraturBearbeiten

  • Charles Ehresmann: Sur la topologie de certains espaces homogènes. Ann. of Math. (2) 35 (1934), no. 2, 396–443.
  • Shiing-Shen Chern: On the characteristic classes of complex sphere bundles and algebraic varieties. Amer. J. Math. 75, (1953). 565–597.
  • Armand Borel: Cohomologie des espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1, Exp. No. 45, 371–378, Soc. Math. France, Paris, 1995.
  • D. V. Alekseevsky: Flag manifolds. 11th Yugoslav Geometrical Seminar (Divčibare, 1996). Zb. Rad. Mat. Inst. Beograd. (N.S.) 6(14) (1997), 3–35. online (PDF; 1,2 MB)

WeblinksBearbeiten