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Die allgemeine lineare Gruppe oder vom Grad über einem Körper ist die Gruppe aller regulären -Matrizen mit Koeffizienten aus . Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Die Bezeichnung kommt von generell linear oder der englischen Bezeichnung „general linear group“.

Wenn der Körper ein endlicher Körper mit einer Primzahlpotenz ist, so schreibt man auch statt . Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch oder .

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe werden als Matrizengruppen bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine lineare Gruppe über einem VektorraumBearbeiten

Wenn   ein Vektorraum über einem Körper   ist, schreibt man   oder   für die Gruppe aller Automorphismen von  , also aller bijektiven linearen Abbildungen  , mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn   die endliche Dimension   hat, sind   und   isomorph. Für eine gegebene Basis des Vektorraums   kann jeder Automorphismus von   durch eine invertierbare  -Matrix dargestellt werden. Dadurch wird ein Isomorphismus von   auf   hergestellt.

Für   ist die Gruppe   nichtabelsch. Für   gilt beispielsweise

 

aber

 .

Das Zentrum von   besteht aus den Vielfachen der Einheitsmatrix (mit Skalaren aus  ).

Untergruppen von GL (n, K)Bearbeiten

Jede Untergruppe von   wird eine Matrizengruppe oder lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

  • Die Untergruppe aller Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente alle ungleich 0 sind, beschreibt Reskalierungen des Raums.
  • Diagonalmatrizen, bei denen alle Diagonalelemente übereinstimmen und nicht 0 sind, beschreiben in der Geometrie zentrische Streckungen. Die Untergruppe dieser Matrizen ist das Zentrum von  . Nur im Trivialfall   ist sie mit   identisch.
  • Die spezielle lineare Gruppe   besteht aus allen Matrizen mit der Determinante 1.   ist ein Normalteiler von  ; und die Faktorgruppe   ist isomorph zu  , der Einheitengruppe von   (ohne die 0).
  • Die orthogonale Gruppe   enthält alle orthogonalen Matrizen.
Für   beschreiben diese Matrizen Automorphismen des  , die die Euklidische Norm und das Skalarprodukt erhalten, also orthogonale Abbildungen.
  • Die unitäre Gruppe   besteht aus allen unitären Matrizen, das heißt solcher Matrizen, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist. Allgemeiner lässt sich die unitäre Gruppe als Untergruppe der linearen Abbildungen in einem Prähilbertraum definieren, ebenso wie die orthogonale Gruppe als Untergruppe der linearen Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum aufgefasst werden kann.
  • Die affine Gruppe AGLn(K) ist eine Untergruppe von  .

Über den reellen und komplexen ZahlenBearbeiten

Die allgemeine lineare Gruppe   über dem Körper   oder   ist eine algebraische Gruppe und damit insbesondere eine Lie-Gruppe über dem Körper und hat die Dimension  .

Beweis:
  ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit   aller  -Matrizen, die ein Vektorraum der Dimension   ist. Die Determinante ist eine polynomiale und damit insbesondere eine stetige Abbildung  .   ist als Urbild der offenen Teilmenge   von   eine offene, nicht leere Teilmenge von   und hat deshalb ebenfalls die Dimension  .

Die Lie-Algebra zu   ist die allgemeine lineare Lie-Algebra  . Diese besteht aus allen  -Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während   zusammenhängend ist, hat   zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe  . Diese Untergruppe ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension   und hat dieselbe Lie-Algebra wie  .

Über endlichen KörpernBearbeiten

Wenn   ein endlicher Körper mit   Elementen ist, wobei   eine Primzahl ist, dann ist   eine endliche Gruppe der Ordnung

 

Dieser Wert kann beispielsweise durch Abzählen der Möglichkeiten für die Matrixspalten ermittelt werden: Für die erste Spalte gibt es   Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte), für die zweite Spalte gibt es   Möglichkeiten (alle außer den Vielfachen der ersten Spalte) etc.

Wenn   ein endlicher Körper mit   Elementen ist, wobei   eine Primzahl ist, dann ist   eine endliche Gruppe der Ordnung

 

Anmerkung: Über dem Ring   mit   Elementen, wobei   eine Primzahl ist, ist die Gruppe   eine endliche Gruppe der Ordnung

 [1]

Für die allgemeine lineare Gruppe über dem Körper mit 2 Elementen gibt es einige Besonderheiten. Zunächst fallen sie mit den projektiven und speziellen projektiven Gruppen zusammen, das heißt

 .

Insbesondere sind diese Gruppen für   einfach und in kleinen Dimensionen bestehen folgende Isomorphismen:

 ,   das ist die symmetrische Gruppe S3 mit 6 Elementen
 ,   das ist die einfache Gruppe mit 168 Elementen
 ,   das ist die alternierende Gruppe A8 mit 20160 Elementen.

Projektive lineare GruppeBearbeiten

Die projektive lineare Gruppe   über einem Vektorraum   über einem Körper   ist die Faktorgruppe  , wobei   die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen   der Identität   ist mit   aus  . Die Bezeichnungen   usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn   ein endlicher Körper ist, sind   und   gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum  -dimensionalen projektiven Raum über   gehört dabei die Gruppe  , sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

Ein Spezialfall ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die  .

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jeffrey Overbey, William Traves and Jerzy Wojdylo: On The Keyspace Of The Hill Cipher. (PDF).