Parabolische Untergruppe

Mathematik

In der Mathematik ist der Begriff der parabolischen Untergruppen ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Algebraischen Gruppen und allgemeiner der Theorie der Lie-Gruppen. Minimale parabolische Gruppen heißen Borel-Gruppen. Klassisches Beispiel einer (minimalen) parabolischen Gruppe ist die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

Eine andere, nicht äquivalente, Verwendung des Begriffs "parabolische Untergruppe" findet sich in der Theorie der Kleinschen Gruppen oder der Theorie der Konvergenzgruppen: hier ist eine parabolische Untergruppe eine Gruppe, deren Elemente parabolische Isometrien mit demselben Fixpunkt sind.

Lie-Gruppen

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Es sei   eine Lie-Gruppe und   ihre Lie-Algebra.

Sei   eine Cartan-Unteralgebra und   das zugehörige Wurzelsystem. Man wähle eine Weyl-Kammer   und bezeichne mit   die entsprechenden positiven Wurzeln. Es seien   die einfachen Wurzeln.

Minimale parabolische Untergruppe

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Die zu   assoziierte minimale parabolische Untergruppe ist die Unter-Lie-Gruppe

 

mit Lie-Algebra

 ,

wobei   den Zentralisator von   und   den Wurzelraum der positiven Wurzel   bezeichnet.

Die minimalen parabolischen Untergruppen werden auch als Borel-Untergruppen bezeichnet.

Definition einer parabolischen Untergruppe

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Eine Untergruppe   heißt parabolisch, wenn es eine minimale parabolische Untergruppe mit   gibt.

Langlands-Zerlegung

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Man hat die Zerlegung

 

mit

 

und  , wobei   die Lie-Algebra mit  , also die Lie-Algebra einer maximal kompakten Gruppe   bezeichnet, insbesondere  .

Die entsprechende Zerlegung

 

heißt die Langlands-Zerlegung von  .

Parabolische Untergruppen

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Die zu einer Cartan-Algebra   assoziierten parabolischen Untergruppen entsprechen den Teilmengen   (die minimale parabolische Untergruppe entspricht der Teilmenge  ), man erhält sie mit folgender Konstruktion, wobei   die Linearkombinationen von Elementen in  , sowie   das mittels der Killing-Form definierte Dual von   und   das orthogonale Komplement (bzgl. der Killing-Form) von   bezeichnet.

Wir betrachten

 
 
 

und

 .

  ist die „standard-parabolische Unteralgebra“ von   zu  . Man beachte, dass die standard-parabolischen Unteralgebren von der Wahl der positiven Weyl-Kammer   abhängen.

Eine Unteralgebra   heißt parabolische Unteralgebra, wenn sie konjugiert zu einer standard-parabolischen Unteralgebra   für eine Weyl-Kammer   und eine Teilmenge   ist.

Die zugehörige parabolische Untergruppe   einer parabolischen Unteralgebra   ist definiert als der Normalisator von   in  .

Für eine Weyl-Kammer   und eine Teilmenge   bezeichnet man mit   die zu   zugehörige parabolische Untergruppe. Jede parabolische Untergruppe   enthält die minimale parabolische Untergruppe  .

Auch in diesem Fall hat man wieder die Langlands-Zerlegung

 .

Die Bezeichnung „parabolische Unteralgebra“ bzw. „parabolische Untergruppe“ geht auf Godement zurück.[1]

Beispiel SL(n,R)

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Eine Cartan-Unteralgebra der Lie-Algebra

 

ist

 .

Als positive Weyl-Kammer kann man

 

wählen. Dann ist   die Lie-Algebra der oberen Dreiecksmatrizen mit  -en auf der Diagonalen und  .

Die Langlands-Zerlegung von   ist

 

mit

 ,
 ,
  die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit  -en auf der Diagonalen.

Die Borel-Gruppe   ist also die Gruppe   der oberen Dreiecksmatrizen, jede andere Borel-Gruppe ist zu   konjugiert.

Die maximalen standard-parabolischen Untergruppen, d. h. diejenigen, für die   aus nur einem Element besteht, sind

 

für  .

Algebraische Gruppen

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Eine parabolische Untergruppe einer über einem Körper   definierten algebraischen Gruppe   ist eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe  , für die der Quotient   eine projektive Varietät ist.

Man kann zeigen, dass eine Untergruppe   genau dann parabolisch ist, wenn sie eine Borel-Untergruppe enthält. (Eine Borel-Untergruppe   ist eine maximale Zariski-abgeschlossene, zusammenhängende, auflösbare, algebraische Untergruppe.) Borel-Untergruppen sind also minimale parabolische Gruppen. Im Fall   oder   stimmt die Definition mit der oben gegebenen überein.

Beispiel

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Eine Borel-Untergruppe von   ist die Gruppe   der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. In diesem Fall ist der Quotient   die Fahnenvarietät.

Jede Borel-Untergruppe von   ist zu   konjugiert. Allgemeiner gilt für algebraische Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern, dass es genau eine Konjugationsklasse von Borel-Untergruppen gibt.

Tits-System

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Sei   eine reduktive algebraische Gruppe und   eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus   enthält. Sei   der Normalisator von   in   und   ein minimales Erzeugendensystem von  . Dann ist   ein Tits-System.

Kleinsche Gruppen

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Im Kontext Kleinscher Gruppen wird der Begriff "Parabolische Untergruppe" häufig mit einer anderen Bedeutung gebraucht, nämlich als Gruppe parabolischer Isometrien, die einen gemeinsamen Fixpunkt haben und demzufolge die Horosphären um diesen Punkt auf sich abbilden.[2] Diese Verwendung ist nicht äquivalent zu der oben beschriebenen.

Allgemeiner wird eine Untergruppe einer Konvergenzgruppe als parabolische Untergruppe bezeichnet, wenn sie unendlich ist, einen globalen Fixpunkt besitzt und keine loxodromischen Elemente enthält.

Literatur

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  • Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. (= Mathematics: Theory & Applications). Birkhäuser, Boston, MA 2006, ISBN 0-8176-3247-6.
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Einzelnachweise

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  1. Armand Borel: Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. (= History of Mathematics. 21). American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, Cambridge 2001, ISBN 0-8218-0288-7 (Chapter VI, Section 2)
  2. B. H. Bowditch: Discrete parabolic groups. In: J. Differential Geom. 38 (1993), no. 3, S. 559–583.