In der Mathematik spielen Kleinsche Gruppen eine zentrale Rolle in 3-dimensionaler Topologie, hyperbolischer Geometrie und komplexer Analysis.

Definition

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Eine Kleinsche Gruppe ist eine diskrete Untergruppe von  , der Isometrie-Gruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes  .

Eine Kleinsche Gruppe heißt

Hyperbolische Mannigfaltigkeit

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Wenn   eine torsionsfreie Kleinsche Gruppe ist, dann ist   eine hyperbolische Mannigfaltigkeit. (Sie ist der innere Kern der zu   assoziierten Kleinschen Mannigfaltigkeit.)

Limesmenge

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Ein Beispiel einer Limesmenge einer Kleinschen Gruppe.

Die Limesmenge oder Grenzmenge   einer Kleinschen Gruppe   ist eine Teilmenge der riemannschen Zahlenkugel, definiert als der Durchschnitt des Randes im Unendlichen mit dem Abschluss einer Bahn   wobei   ein Punkt des hyperbolischen Raumes ist. Die Definition der Limesmenge ist unabhängig vom gewählten Punkt  .

Die inzwischen bewiesene Ahlfors-Vermutung besagt, dass die Limesmenge einer endlich erzeugten Kleinschen Gruppe entweder ganz   ist oder Lebesgue-Maß Null hat. (Die Vermutung wurde von Canary 1993 für topologisch zahme Gruppen bewiesen. Zusammen mit der 2004 von Agol, Calegari und Gabai bewiesenen Zahmheits-Vermutung folgt daraus die Gültigkeit für alle endlich erzeugten Kleinschen Gruppen.)

Eine Kleinsche Gruppe heißt Kleinsche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz   ist. Andernfalls handelt es sich um eine Kleinsche Gruppe 2. Art.

Wenn   eine Kleinsche Gruppe 2. Art ist, dann hat die hyperbolische Mannigfaltigkeit   unendliches Volumen, insbesondere ist sie dann nichtkompakt.

Das Komplement der Limesmenge in   ist der Diskontinuitätsbereich  , er ist die maximale Teilmenge von  , auf der   eigentlich diskontinuierlich wirkt. Der Quotient

 

ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand, er wird als Kleinsche Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Flächengruppen

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Es sei   eine diskrete, treue Darstellung einer Flächengruppe. Dann heißt die Kleinsche Gruppe   eine Fuchssche Gruppe, wenn ihre Limesmenge ein Kreis ist, quasifuchssche Gruppe, wenn ihre Limesmenge eine Jordankurve ist und degenerierte Kleinsche Gruppe sonst. Eine degenerierte Kleinsche Gruppe heißt doppelt degeneriert, wenn ihre Limesmenge die gesamte 2-Sphäre ist und einfach degeneriert wenn das Komplement der Limesmenge zusammenhängend und nicht leer ist.

Geometrisch endliche Kleinsche Gruppen

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Eine Kleinsche Gruppe   heißt geometrisch endlich, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • es gibt einen Fundamentalpolyeder mit endlich vielen Seitenflächen
  • für alle   hat der Dirichlet-Bereich endlich viele Seitenflächen
  • der konvexe Kern   von   hat endliches Volumen.

Ein Ende einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit   heißt geometrisch endlich, wenn es eine Umgebung besitzt, die vom konvexen Kern   disjunkt ist. Andernfalls heißt das Ende geometrisch unendlich.

Eine Flächengruppe ist genau dann geometrisch endlich, wenn sie eine quasifuchssche Gruppe ist.

Geometrisch unendliche Enden

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Wenn ein Ende   einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit   geometrisch unendlich ist, dann gibt es zu jeder Umgebung   von   eine geschlossene Geodäte   mit  . Für ein geometrisch unendliches Ende der Form   definiert man die Endelaminierung als die Laminierung der Fläche  , welche man als Grenzwert einer (jeder) Folge von jede kompakte Teilmenge letztendlich verlassenden Geodäten   erhält.

Das von Jeffrey Brock, Richard Canary und Yair Minsky bewiesene ending lamination theorem besagt, dass geometrisch unendliche Enden durch ihre Endelaminierung eindeutig bestimmt sind.

Siehe auch

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Literatur

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  • Francis Bonahon: Bouts des variétés hyperboliques de dimension 3. Ann. of Math. (2) 124 (1986), no. 1, 71–158.
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