Innerer Punkt

Begriff aus der Topologie

Innerer Punkt sowie Inneres bzw. offener Kern sind Begriffe aus der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik.

x ist innerer Punkt von S, y ist Randpunkt.

Jedes Element einer Teilmenge eines topologischen Raums , zu dem sich eine Umgebung in finden lässt, die vollständig in liegt, ist ein innerer Punkt von . Die Menge aller inneren Punkte von heißt Inneres oder offener Kern von .

Beispiel: Betrachtet man eine Kreisscheibe als Teil der Ebene, dann sind die Punkte auf dem Rand des Kreises keine inneren Punkte (sondern Randpunkte). Dagegen sind alle Punkte zwischen dem Kreisrand und dem Kreismittelpunkt und der Kreismittelpunkt selbst innere Punkte der Kreisfläche.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raums  . Dann ist ein Punkt   aus   genau dann ein innerer Punkt von  , wenn   eine Umgebung von   in   ist, d. h. wenn es eine Teilmenge   gibt, die   enthält und in   offen ist.

Die Menge aller inneren Punkte von   heißt Inneres oder offener Kern von  ; sie ist die größte offene Teilmenge von  . Sie wird üblicherweise mit   oder insbesondere in englischsprachiger Literatur mit   oder   bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

  • Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann offen, wenn sie gleich ihrem Inneren ist.
  • Das Innere des Komplements ist das Komplement des Abschlusses und umgekehrt:
  und  

Das Innere des Komplements heißt auch das Äußere von M. Der Raum X zerfällt also in Inneres, Rand und Äußeres von M.

BeispielBearbeiten

Nehme die folgende Menge   und die Zahl  :

  ist ein innerer Punkt von  , weil es ein   gibt, sodass   eine Teilmenge von   ist:

Innere Punkte von IntervallenBearbeiten

  • Die inneren Punkte des kompakten Intervalls   sind genau die zum offenen Intervall   gehörenden Punkte.
  • Ebenso sind die inneren Punkte des halboffenen Intervalls   oder des halboffenen Intervalls   genau die zum offenen Intervall   gehörenden Punkte.
  • Alle Punkte des offenen Intervalls   sind innere Punkte.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten