Kernoperator

Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihr Kern zugeordnet wird

In der Mathematik versteht man unter dem Kern einer Menge eine Teilmenge, die klein genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die größte Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Das wichtigste Beispiel ist der offene Kern bzw. das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raums. Kernoperator bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihr Kern zugeordnet wird. Die durch einen Kernoperator gegebene Kerne bilden ein Kernsystem, also ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften.

DefinitionenBearbeiten

KernoperatorenBearbeiten

Über einer gegebenen Grundmenge   ist ein Kernoperator eine intensive, monotone, idempotente Abbildung   auf der Potenzmenge von  , welche jeder Teilmenge   eine weitere Teilmenge von  , nämlich den Kern  , zuordnet, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind:

(It) Intensivität:  , das heißt: Der Kern von   ist mindestens in der Menge   selbst enthalten.
(M) Monotonie bzw. Isotonie:  , das heißt: Wenn   Teilmenge von   ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Kerne.
(Ip) Idempotenz:  , das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so bleibt dieser unverändert.

Aufgrund der beiden anderen Anforderungen genügt es auch an Stelle der Idempotenz nur   zu fordern, das heißt: bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so wird nichts mehr weggenommen.

Äquivalent zu den drei genannten Einzelforderungen ist folgende.   heißt Kernoperator, wenn für alle   gilt:

(Ok):  .

KernsystemeBearbeiten

Ein Kernsystem ist ein unter beliebiger Vereinigungsmengenbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h. ein Kernsystem über einer Menge   ist eine aus Teilmengen der Grundmenge   bestehende Menge   mit folgenden Eigenschaften:

(Sk0):   enthält die leere Menge:  .
(Sk1): Für jede nichtleere Teilmenge   von   ist die Vereinigung der Elemente von   ein Element aus  , oder kurz:  .

Wegen   lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen äquivalenten Bedingung vereinfachen:

(Sk): Für jede Teilmenge   von   ist die Vereinigung der Elemente von   ein Element aus  , oder kurz:  .

Zusammenhang zwischen Kernsystemen und KernoperatorenBearbeiten

Kernsysteme und Kernoperatoren entsprechen einander:

  • Ist   ein Kernsystem über  , dann kann man einen Kernoperator   auf   wie folgt definieren:
  für alle  .
  • Umgekehrt kann aus jedem Kernoperator   auf   ein Kernsystem   über   gewonnen werden:
 .

BeispielBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.