Relativ innerer Punkt

mathematischer Begriff

Der Begriff Relativ Innerer Punkt ist ein topologischer Begriff, der in der Mathematischen Optimierung gebraucht wird.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Teilmenge eines   -dimensionalen reellen Vektorraums  ,   die affine Hülle von   in  . Dann heißt ein Punkt   aus   ein relativ innerer Punkt von  , wenn es eine Umgebung   von   gibt, so dass   gilt. Die relativ inneren Punkte von   sind also genau die inneren Punkte bezüglich der Unterraumtopologie von  . Die Menge aller relativ inneren Punkte heißt das relativ Innere der Menge   und wird mit   bezeichnet.

 
Unterschied zwischen innerer Punkt und relativ innerer Punkt einer Menge

BeispieleBearbeiten

QuaderBearbeiten

Wir betrachten einen Quader im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

  • Ein Punkt im Inneren des Quaders ist relativ innerer Punkt des Vollquaders.
  • Ein Punkt auf einer Seitenfläche des Quaders (nicht auf einer Kante) ist relativ innerer Punkt der betreffenden Seitenfläche, aber nicht des Vollquaders.
  • Ein Punkt auf einer Kante des Quaders, der kein Eckpunkt des Quaders ist, ist relativ innerer Punkt der betreffenden Kante, aber weder einer Seitenfläche noch des Vollquaders.
  • Ein Eckpunkt des Quaders ist in keiner (nichttrivialen) Teilmenge des Quaders ein relativ innerer Punkt.

KreisscheibeBearbeiten

Wir betrachten eine abgeschlossene Kreisscheibe im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

  • Die affine Hülle der Kreisscheibe ist die Ebene im Raum, in der der Kreis liegt.
  • Die Punkte der Kreislinie sind für die Kreisscheibe keine relativ inneren Punkte.
  • Alle anderen Punkte der Kreisscheibe sind relativ innere Punkte.

Kurve in der EbeneBearbeiten

Sei   eine Kurve in der Ebene. Formal:   sei das Bild einer stetigen Funktion   auf einem Intervall  .

Ein Punkt   auf der Kurve, der weder ihr Anfangs- noch ihr Endpunkt ist (das heißt   liegt im Inneren von  ), ist genau dann ein relativ innerer Punkt der Kurve, wenn die Kurve in einer Umgebung von   geradeaus geht. Falls die Funktion   an der Stelle   zweimal differenzierbar ist, bedeutet dies, dass die Kurve dort die Krümmung 0 hat.