Hauptmenü öffnen

Stetige Funktion

Mathematische Funktion mit besonderen Eigenschaften

In der Mathematik ist eine stetige Abbildung oder stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich ziehen. Formalisieren kann man diese Eigenschaft mit der Vertauschbarkeit der Funktion mit Grenzwerten oder mit dem --Kriterium.

Anschaulich gesprochen ist eine reelle stetige Funktion dadurch gekennzeichnet, dass ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem innerhalb ihres Definitionsbereiches eine zusammenhängende Kurve ist, der Graph also keine Sprünge macht und man ihn ohne Absetzen des Stiftes zeichnen kann.

Die meisten der in der reellen Analysis vorkommenden Funktionen sind stetig, insbesondere ist das für alle differenzierbaren Funktionen der Fall.

Für stetige Funktionen können eine Reihe nützlicher Eigenschaften bewiesen werden. Exemplarisch seien der Zwischenwertsatz, der Satz vom Minimum und Maximum und der Fundamentalsatz der Analysis genannt.

Allgemeiner ist das Konzept der Stetigkeit von Abbildungen in der Mathematik vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung. Es ist möglich, Stetigkeit durch eine Bedingung zu charakterisieren, die nur Begriffe der Topologie benutzt. Somit kann der Begriff der Stetigkeit auch auf Funktionen zwischen topologischen Räumen ausgedehnt werden. Diese allgemeine Sichtweise erweist sich aus mathematischer Sicht als der „natürlichste“ Zugang zum Stetigkeitsbegriff: Stetige Funktionen sind diejenigen Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit deren Strukturen „verträglich“ sind. Stetige Funktionen spielen also in Topologie und Analysis eine ähnliche Rolle wie Homomorphismen in der Algebra.

MotivationBearbeiten

 
Graphische Veranschaulichung der Funktion   mit einer Sprungstelle in  .

Die Funktion   „springt“ an der Stelle   vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Stellt die Funktion einen Zusammenhang aus der Natur oder der Technik dar, so erscheint ein solches Verhalten als unerwartet (Natura non facit saltus). Beschreibt die Funktion zum Beispiel den Zusammenhang zwischen der beim Radfahren aufgebrachten Energie und der erreichten Geschwindigkeit, so wäre es überraschend, wenn eine minimale Steigerung der aufgewandten Energie an einer Stelle sprunghaft zur Verdoppelung der Geschwindigkeit führte.

Der mathematische Begriff der Stetigkeit versucht die Funktionen exakt zu beschreiben, die ein solches 'willkürliches Verhalten' nicht haben. Die angegebene Funktion   ist also nicht stetig, wobei sich die Unstetigkeit auf den Punkt   einschränken lässt. In allen anderen Punkten ist die Funktion stetig.

 
Sinus und Kosinus sind stetige Funktionen, ihre Funktionsgraphen können in einem Zug ohne Absetzen gezeichnet werden.
 
Der Graph der stetigen Funktion   in zwei unterschiedlichen Maßstäben.

Anschaulich wird Stetigkeit oft damit assoziiert, den Graphen einer Funktion in einem Zug ohne Absetzen zeichnen zu können. Diese Anschauung stößt an gewisse Grenzen, besonders wenn man Funktionen mit anderen Definitionsbereichen als der gesamten reellen Zahlengerade betrachtet. Deshalb werden mathematisch exakte Definitionen benötigt.

Beispielsweise ist die durch   gegebene Funktion stetig, obwohl ihr Graph schwerlich ohne Absetzen zu zeichnen sein dürfte.

Stetigkeit reeller FunktionenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine reelle Funktion, also eine Funktion  , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich   ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.
In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von   in einem   zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.

 
Veranschaulichung der  - -Definition: für   erfüllt   die Stetigkeitsbedingung.

Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium.   heißt stetig in  , wenn zu jedem   ein   existiert, so dass für alle   mit

 

gilt:

 .

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung   des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung   im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

Beispiel: Nachweis der Stetigkeit der Funktion   an der Stelle  

Seien   und   mit

 .

Es ist

 .

Damit dies kleiner als die vorgegebene Zahl   ist, kann z. B.

 

gewählt werden. Denn aus

 

folgt dann nämlich

 .

Bemerkungen:

  • Da die Funktion   an jeder Stelle   stetig ist, ist   somit auf ganz   stetig.
  • Weil   lediglich von  , nicht aber von der Stelle   abhängt, ist   sogar auf ganz   gleichmäßig stetig.
 
Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)

Definition mittels Grenzwerten. Bei dieser Definition fordert man die Vertauschbarkeit von Funktionsausführung und Grenzwertbildung. Hierbei kann man sich wahlweise auf den Grenzwertbegriff für Funktionen oder für Folgen stützen.
Im ersten Fall formuliert man:   heißt stetig in  , wenn der Grenzwert   existiert und mit dem Funktionswert   übereinstimmt, wenn also gilt:

 .

Im zweiten Fall formuliert man:   heißt stetig in  , wenn für jede gegen   konvergente Folge   mit Elementen  , die Folge   gegen   konvergiert.
Die zweite Bedingung wird auch als Folgenkriterium bezeichnet.

Statt von Stetigkeit in   spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt   oder Stetigkeit an der Stelle  . Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man   unstetig in (im Punkt/an der Stelle)  , bzw. bezeichnet   als Unstetigkeitsstelle von  .

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Beispiele stetiger und unstetiger FunktionenBearbeiten

Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Damit folgt insbesondere die Stetigkeit

Die Stetigkeit dieser Funktionen lässt sich aber auch ohne Rückgriff auf den Begriff der Differenzierbarkeit direkt beweisen.

Die Betragsfunktion ist ebenfalls stetig, auch wenn sie im Punkt 0 nicht differenzierbar ist. Ebenfalls stetig sind alle Potenzfunktionen (etwa  ), obwohl sie für einen Exponenten kleiner 1 im Punkt 0 ebenfalls nicht differenzierbar sind.
Tatsächlich sind alle elementaren Funktionen stetig (zum Beispiel  ).

 
Der Graph einer stetigen rationalen Funktion. Die Funktion ist nicht definiert für  .

Bei der Betrachtung der elementaren Funktionen ist allerdings zu beachten, dass einige elementare Funktionen als Definitionsbereich nur eine echte Teilmenge der reellen Zahlen haben. Bei der Quadratwurzelfunktion werden z. B. alle negativen Zahlen ausgelassen, bei der Tangensfunktion alle Nullstellen des Kosinus.
In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.
Beispielsweise ist die Funktion

 

definiert für alle reellen Zahlen   und in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig. Sie ist also eine stetige Funktion. Die Frage der Stetigkeit in   stellt sich nicht, weil dieser Punkt nicht zum Definitionsbereich gehört. Eine stetige Fortsetzung der Funktion an dieser Definitionslücke ist nicht möglich.

Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest an "den meisten" Stellen differenzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden. Dies zeigt, dass die intuitive Erklärung, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen.

Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne "häufig" unter den stetigen Funktionen sind.

 
Die Vorzeichenfunktion   ist nicht stetig an der Stelle 0.

Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:

Stetigkeit zusammengesetzter FunktionenBearbeiten

Ähnlich wie die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit eine Eigenschaft, die sich bei vielen Operationen von den Bestandteilen auf die daraus zusammengesetzten Funktionen überträgt. Bei den folgenden Punkten sei die Stetigkeit von   in   bereits gegeben.

  • Hintereinanderausführung: Ist   eine weitere reelle Funktion, deren Definitionsbereich den Wertebereich von   umfasst und die in   stetig ist, dann ist die Komposition   stetig in  .
  • Algebraische Operationen: Ist   eine weitere reelle Funktion mit dem selben Definitionsbereich wie  , die ebenfalls in   stetig ist, dann sind die punktweise definierten Funktionen  ,  ,   und   ebenfalls stetig in  . Im letzten Fall ist allerdings zu beachten, dass der Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion sich als   ohne die Nullstellenmenge von   ergibt. Insbesondere darf   selbst in diesem Fall also keine Nullstelle von   sein.
  • Maximum/Minimum: Unter den gleichen Voraussetzungen wie im vorherigen Punkt sind die punktweise definierten Funktionen   und   stetig in  .

Passen die Definitionsbereiche der beteiligten Funktionen nicht wie gefordert zusammen, so kann man sich eventuell durch geeignete Einschränkungen der Definitionsbereiche weiter helfen.

Unter bestimmten Voraussetzungen überträgt sich Stetigkeit auch auf die Umkehrfunktion. Allerdings kann die Aussage hier nicht für die punktweise Stetigkeit formuliert werden:

Ist der Definitionsbereich der injektiven, stetigen reellen Funktion   ein Intervall, so ist die Funktion streng monoton (steigend oder fallend). Die auf dem Wertebereich von   definierte Umkehrfunktion   ist ebenfalls stetig.

Mit Hilfe dieser Permanenzeigenschaften kann man zum Beispiel die Stetigkeit der oben angegebenen elementaren Funktion   aus der Stetigkeit des Kosinus, der identischen Funktion und der konstanten Funktionen ableiten. Verallgemeinert man diese Überlegung, so ergibt sich die Stetigkeit aller elementaren Funktionen als Konsequenz aus den vorher angegebenen einfachen Beispielen.

Hauptsätze über stetige reelle FunktionenBearbeiten

Es gibt eine Reihe wichtiger Sätze, die für stetige reelle Funktionen   gelten. Diese lassen sich am einfachsten formulieren, wenn man annimmt, dass   mit   ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist:

  • Zwischenwertsatz: Die Funktion nimmt jeden Wert zwischen   und   an.
 
ist eine Stammfunktion von  .

Aus Zwischenwertsatz und Satz vom Minimum und Maximum zusammen folgt, dass das Bild von   ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall (bzw. im Fall einer konstanten Funktion eine einpunktigen Menge) ist.

Andere StetigkeitsbegriffeBearbeiten

Verschärfungen des Begriffs der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie die absolute Stetigkeit und die geometrische Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Existenz- und Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen und in der geometrischen Maßtheorie. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie, die geometrische Stetigkeit in der geometrischen Modellierung.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Stetigkeit für Funktionen mehrerer VariablenBearbeiten

Eine Funktion

 
 

heißt stetig in  , wenn für jede gegen   konvergierende Folge die Folge der Funktionswerte gegen   konvergiert.

Sie heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.

Ist die Funktion   stetig, so ist sie auch stetig in jedem Argument.

Dabei heißt die Funktion   stetig im ersten Argument, wenn für jedes   die Funktion

 
 

stetig ist. Analog wird die Stetigkeit im zweiten, dritten, … ,  -ten Argument definiert.

 
Darstellung der im Punkt (0,0) nicht stetigen nebenstehenden Funktion f.

Umgekehrt folgt aus der Stetigkeit in jedem Argument noch nicht die Stetigkeit von  , wie das folgende Beispiel zeigt:

 

Man überzeugt sich leicht, dass diese Funktion in beiden Argumenten stetig ist. Die Funktion ist im Punkt   aber unstetig. Definiert man nämlich   für  , so ist   eine Folge, die in   gegen   konvergiert. Es gilt   für alle  . Die Bildfolge hat also den konstanten Wert   und konvergiert somit nicht gegen den Funktionswert 0 an der betrachteten Stelle.

Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen RäumenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Seien   und   metrische Räume,   eine Abbildung und  .

Dann heißt   stetig in  , wenn aus   stets   folgt. Diese Bedingung ist wieder äquivalent zum  Kriterium.

Die Abbildung   heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt   stetig ist.

Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen euklidischen VektorräumenBearbeiten

Eine Abbildung

 

ist im Sinne dieser Definition genau dann stetig in  , wenn die Komponentenabbildungen   alle stetig in   sind.

Abbildungen zwischen normierten VektorräumenBearbeiten

Ein linearer Operator

 

zwischen normierten Vektorräumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist, wenn es also eine Konstante   gibt, so dass

 

für alle  . Diese Charakterisierung gilt allgemeiner auch für Abbildungen zwischen bornologischen Räumen.

Sind   und   sogar Banachräume, so kann der Satz vom abgeschlossenen Graphen oft zum Nachweis der Stetigkeit genutzt werden.

Allgemeiner kann man Stetigkeit auch für Abbildungen zwischen lokalkonvexen Vektorräumen definieren und dann ist   genau dann stetig, wenn für jede stetige Halbnorm   auf   die Halbnorm   stetig auf   ist.

Stetigkeit von Grenzwerten von FunktionenfolgenBearbeiten

Im Allgemeinen folgt aus der punktweisen Konvergenz einer Folge stetiger Funktionen   nicht die Stetigkeit der Grenzfunktion  . Zum Beispiel konvergiert für   die Funktionenfolge   gegen die unstetige Funktion  .[1]

Unter strengeren Konvergenzbegriffen für Funktionenfolgen, insbesondere der (lokal) gleichmäßigen Konvergenz, kann aber stets die Stetigkeit der Grenzfunktion sichergestellt werden.[2]

Mit Hilfe dieses Konvergenzbegriffs von Funktionenfolgen lässt sich die Stetigkeit von durch Potenzreihen definierten komplexen Funktionen im Innern ihres Konvergenzkreises beweisen (siehe auch Abelscher Grenzwertsatz).

Der Satz von Banach-Steinhaus stellt die Stetigkeit der Grenzfunktion sicher, wenn   und   Banachräume sind und alle   lineare Operatoren sind.

Varianten des StetigkeitsbegriffsBearbeiten

Für Funktionen zwischen metrischen Räumen gibt eine Reihe weiterer Stetigkeitsbegriffe, die jeweils strengere Bedingungen daran stellen, wie stark der Funktionswert in Abhängigkeit von der Schwankung im Argument schwanken darf. Hier wäre zu nennen: gleichmäßige Stetigkeit (kann auch für Funktionen auf uniformen Räumen definiert werden), (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit, gleichgradige Stetigkeit[3] sowie (falls der Definitionsbereich ein reelles Intervall ist) absolute Stetigkeit.

Stetigkeit in der TopologieBearbeiten

Das Konzept der Stetigkeit wurde zunächst für reelle und komplexe Funktionen entwickelt. Bei der Begründung des mathematischen Teilgebiets der Topologie zeigte sich aber, dass das Konzept sich natürlich auf dieses Gebiet erweitern lässt. Seitdem ist die Stetigkeit einer der Grundbegriffe der modernen Mathematik.

Die oben angegebenen alternativen Definitionen von Stetigkeit können leicht auf viel allgemeinere Situationen ausgedehnt werden, wobei ein Großteil der angegebenen Eigenschaften stetiger Funktionen ebenfalls verallgemeinert werden kann. Dieser verallgemeinerte Stetigkeitsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die Topologie und verwandte mathematische Teilgebiete (etwa die Funktionalanalysis).

Definitionen der StetigkeitBearbeiten

Da man topologische Räume auf unterschiedliche (aber äquivalente) Weise definieren kann, existieren auch mehrere gleichwertige Definitionen der Stetigkeit. Im Folgenden finden sich bei jeder Definition mehrere Varianten, die sich durch ihren Grad an Formalisierung unterscheiden, inhaltlich aber dasselbe aussagen.

Funktionen besitzen einen Definitionsbereich und eine Zielmenge, die mit verschiedenen Topologien versehen werden können. Die Wahl dieser Topologien ist kein Bestandteil der 'Identität' der Funktion aber wesentlich für die Frage der Stetigkeit. Es ist daher eigentlich unpräzise, davon zu sprechen, dass eine Funktion stetig oder unstetig sei.

Eine präzise Formulierung von der unten angegebenen Definition mittels Umgebungen würde zum Beispiel lauten:

Seien   und   topologische Räume. Sei   eine Funktion und  . Dann heißt   stetig in   bezüglich der Räume   und  , wenn für jede  -Umgebung   von   das Urbild   eine  -Umgebung von   ist.

In der mathematischen Praxis ist fast immer klar, welche Topologien auf den jeweiligen Räumen verwendet werden sollen. Daher ist die in diesem Artikel verwendete etwas ungenaue Sprechweise üblich. In den seltenen Fällen, wo mehrere Topologien zur Auswahl stehen, wird dies durch entsprechende Erläuterungen deutlich gemacht.

Offene MengenBearbeiten

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann heißt   stetig, wenn das Urbild unter   von jeder in   offenen Menge   wieder offen in   ist.
  3.   stetig     (wobei   die Topologie des Raumes  , also die Menge der offenen Mengen des topologischen Raumes ist)

Abgeschlossene MengenBearbeiten

Die Stetigkeit kann durch abgeschlossene Mengen definiert werden, indem man „offene Mengen“ in obiger Definition durch „abgeschlossene Mengen“ ersetzt:

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen wiederum abgeschlossene Mengen sind.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann heißt   stetig, wenn das Urbild unter   von jeder in   abgeschlossenen Menge   wieder abgeschlossen in   ist.
  3.   stetig    
 
Stetigkeit in einem Punkt x: für jede Umgebung V von f(x) gibt es eine Umgebung U von x mit f(U) ⊆ V

UmgebungenBearbeiten

Sei   die Menge aller Umgebungen eines Punktes  .

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für jeden Punkt gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann ist   genau dann stetig, wenn für jeden Punkt   in   gilt: Ist   eine Umgebung von  , dann gibt es eine Umgebung   von  , so dass   in   enthalten ist.
  3.   stetig    

NetzeBearbeiten

Für eine gerichtete Menge   und eine Menge   ist ein Netz eine Abbildung  . Meist schreibt man analog zu Folgen  . Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

  1. Seien   und   topologische Räume. Eine Abbildung   ist genau dann stetig, wenn für alle   gilt: Für jedes in   gegen   konvergierende Netz   konvergiert das Netz   in   gegen  
  2.   stetig    

Funktionen, die die schwächere Bedingung „ “ erfüllen, werden folgenstetig in   genannt. Erfüllt   das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies ist z. B. für metrische Räume der Fall), so sind die beiden Begriffe gleichwertig.

AbschlussBearbeiten

  1. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn das Bild des Abschlusses einer beliebigen Teilmenge im Abschluss des Bildes dieser Teilmenge enthalten ist.
  2. Sei   eine Abbildung von dem topologischen Raum   in den topologischen Raum  . Dann ist   genau dann stetig, wenn für jede Teilmenge   von   gilt: Das Bild des Abschlusses von   liegt im Abschluss des Bildes von  .
  3.   stetig    

Betrachtet man bei einer Funktion nicht wie bei der Stetigkeit die Urbilder, sondern die Bilder der Funktion, so gelangt man zu den Begriffen der offenen bzw. abgeschlossenen Abbildung.[4]

Eigenschaften stetiger FunktionenBearbeiten

  • Wenn   und   stetige Funktionen sind, dann ist die Komposition   auch stetig.
  • Einschränkungen stetiger Funktionen sind stetig.
  • Wenn   stetig und
    • X kompakt ist, dann ist   kompakt.[5]
    • X zusammenhängend ist, dann ist   zusammenhängend.[6]
    • X wegzusammenhängend ist, dann ist   wegzusammenhängend.
  • Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Viele wichtige Sätze über Funktionen setzen voraus, dass diese stetig sind. Hier einige Beispiele:

  • Der Satz von Peano über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen setzt die Stetigkeit der rechten Seite voraus.
  • Der in der Topologie wichtige brouwersche Abbildungsgrad und seine in der Funktionalanalysis verwendeten Verallgemeinerungen sind für stetige Abbildungen definiert.
  • Eine stetige Funktion von einer nichtleeren kompakten und konvexen Teilmenge eines hausdorffschen topologischen Vektorraums in sich selbst besitzt einen Fixpunkt (Fixpunktsatz von Schauder).

Beispiele stetiger FunktionenBearbeiten

Elementare BeispieleBearbeiten

  • Für eine Definitionsmenge   mit der diskreten Topologie ist jede Funktion   in einen beliebigen Raum   stetig.
  • Für eine Zielmenge   mit der indiskreten Topologie ist jede Funktion   in diesen Raum   stetig.[7]
  • Konstante Abbildungen zwischen beliebigen topologischen Räumen sind immer stetig.
  • Für eine Definitionsmenge mit der indiskreten Topologie und eine Zielmenge, die ein T0-Raum ist, sind die konstanten Funktionen die einzigen stetigen Funktionen.
  • Die identische Abbildung   ist genau dann stetig, wenn die Topologie des Urbildraumes feiner ist, als die des Bildraumes, d. h.  .[8]

WegeBearbeiten

Ist   ein topologischer Raum, so bezeichnet man eine stetige Funktion von   nach   auch als Weg in  . Dieser Begriff ist selbst wieder in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik von großer Bedeutung:

Überraschend mag das Ergebnis sein, dass der n-dimensionale Einheitswürfel   für jedes   durch einen Weg vollständig ausgefüllt werden kann (Peano-Kurve).

HomöomorphismenBearbeiten

In der Algebra gilt, dass die Umkehrfunktion eines bijektiven Homomorphismus wieder ein Homomorphismus ist. Homomorphismen sind per Definition dadurch charakterisiert, dass ihre Anwendung mit der Ausführung der Rechenoperationen vertauscht werden kann. Beim Beweis der Homomorphismus-Eigenschaft der Umkehrfunktion nutzt man aus, dass die Rechenoperationen immer ausgeführt werden können (im Definitionsbereich) und immer ein eindeutiges Ergebnis haben (in der Zielmenge). Eine stetige Funktion kann charakterisiert werden als eine Funktion, deren Anwendung mit der Grenzwertbildung (von Netzen) vertauscht werden kann. Da aber Netze im Definitionsbereich nicht konvergieren müssen und in der Zielmenge Netze auch gegen mehrere Grenzwerte konvergieren können, gilt eine analoge Aussage über Umkehrfunktionen hier nicht. Dies zeigt zum Beispiel die bijektive stetige Funktion  .
Man bezeichnet eine bijektive Funktion zwischen zwei topologischen Räumen als Homöomorphismus, wenn eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

(a) Die Funktion und ihre Umkehrfunktion sind stetig.
(b) Die Funktion und ihre Umkehrfunktion sind offen.
(c) Die Funktion und ihre Umkehrfunktion sind abgeschlossen.
(d) Die Funktion ist stetig und offen.
(e) Die Funktion ist stetig und abgeschlossen.[9]

Jede stetige Bijektion zwischen kompakten Hausdorff-Räumen ist ein Homöomorphismus.[10]

Funktionen mehrerer VariablenBearbeiten

Eine Funktion, deren Definitionsbereich ein Kartesisches Produkt ist, wird auch als Funktion in mehreren Variablen bezeichnet. Die folgenden Ausführungen für den Fall eines Produktes von zwei topologischen Räumen können auf beliebige (auch unendliche) Produkte erweitert werden.

Seien  ,   und   topologische Räume und   eine Funktion in zwei Variablen.

  heißt stetig im ersten Argument, wenn für jedes   die Funktion   stetig ist. Analog wird die Stetigkeit im zweiten Argument definiert.

Ist die Funktion   stetig (hierbei wird auf   die Produkttopologie angenommen), so ist   auch stetig in beiden Argumenten. Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel in Stetige Funktionen in mehreren Veränderlichen zeigt.

Die umgekehrte Situation ist deutlich einfacher: Für eine Funktion   gibt es (eindeutig bestimmte) Funktionen   und  , so dass   für alle  . Dann ist   genau dann stetig, wenn   und   es sind. Man kann also   in natürlicher Weise mit   identifizieren.[11]

Menge der stetigen FunktionenBearbeiten

Die Menge aller stetigen Funktionen von   nach   wird meist mit   oder   bezeichnet. Dabei steht das C für „continuous“, englisch für „stetig“. Ist der Bildraum   aus dem Kontext ersichtlich oder  , so schreibt man oft nur   bzw.  .

  ist eine Unteralgebra der  -Algebra aller reellwertigen Funktionen auf  . Zwei stetige Funktionen von   nach   stimmen bereits überein, wenn sie auf einer dichten Teilmenge von   übereinstimmen. Da jede Teilmenge von   eine höchstens abzählbare dichte Teilmenge besitzt, kann man hieraus ableiten, dass die Mächtigkeit von   die Mächtigkeit des Kontinuums ist (falls   nicht leer ist). Die Menge aller Funktionen von   nach   hat eine wesentlich größere Mächtigkeit (zumindest, wenn   ein Intervall mit mehr als einem Element ist). Man kann das so interpretieren, dass Stetigkeit unter reellen Funktionen eine 'seltene' Eigenschaft ist. Dies widerspricht etwas der Alltagserfahrung, da ja alle elementaren Funktionen stetig sind.

Wichtige Unterräume von   sind zum Beispiel:

Ist   ein kompakter Raum, so tragen die stetigen Funktionen mehr Struktur. Ist dann zusätzlich   ein metrischer Raum, zum Beispiel wieder  , so sind die stetigen Funktionen stets eine Teilmenge der beschränkten Funktionen, es gilt also

 .

Ist auf   eine Norm   definiert, so wird über

 

eine Norm auf   definiert, die sogenannte Supremumsnorm. Diese Definition ist aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf kompakten Räumen sinnvoll.

Ist   ein Banach-Raum, also ein vollständiger normierter Raum, so ist auch   ein Banach-Raum. Die stetigen Funktionen sind dann ein abgeschlossener Unterraum der beschränkten Funktionen.[12]

Zu einer Familie stetiger Funktionen kann man auf dem Definitionsbereich nach einer möglichst groben Topologie sucht, bezüglich der die Funktionen immer noch stetig sind, bzw. auf der Zielmenge nach einer möglichst feinen. Diese Topologien werden als Initialtopologie und Finaltopologie bezeichnet.[13]

Algebren stetiger komplexwertiger FunktionenBearbeiten

Für einen topologischen Raum   bildet  , die Menge der stetigen komplexwertigen Funktionen auf  , wie bereits festgestellt, eine  -Algebra. Diese ist natürlich kommutativ und unital (die Funktion mit dem konstanten Wert 1 ist das Einselement).

Zusätzlich ist auf dieser Algebra in natürlicher Weise eine konjugiert lineare Involution gegeben, die auch mit der Multiplikation verträglich ist. Diese ist gegeben durch   für  .

  ist also eine unitale, kommutative *-Algebra. Man beachte, dass die Untersuchung dieser Algebren die Untersuchung der Algebren aller komplexwertigen Funktionen auf einer beliebigen Menge einschließt, da man jede Menge mit der diskreten Topologie versehen kann, wodurch alle Funktionen stetig werden.

Das Lemma von Urysohn stellt für die meisten wichtigen topologischen Räume sicher, dass   ausreichend reichhaltig ist. Tatsächlich erweist sich diese Algebra als oftmals zu groß für die praktische Untersuchung. Man geht daher meist zur unitalen *-Unteralgebra   der beschränkten, stetigen komplexwertigen Funktionen auf   über. Falls   kompakt ist, so gilt  , wegen (15').

  wird durch die Supremumsnorm zu einer kommutativen, unitalen C*-Algebra.

Der Satz von Gelfand-Neumark besagt, dass jede kommutative, unitale C*-Algebra isomorph ist zu   für einen geeignet gewählten kompakten Hausdorff-Raum  . Dabei ist   bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt (und der Satz gibt auch ein konstruktives Verfahren zur Ermittlung von   an). Somit kann die Theorie der kommutativen, unitalen C*-Algebren vollständig identifiziert werden mit der Theorie der kompakten Hausdorff-Räume. Dies ist ein mächtiges Werkzeug, da Aussagen, die in der einen Theorie schwierig zu beweisen sind, in die andere Theorie übertragen werden können, wo ihr Beweis oft viel einfacher ist.[14]

In Erweiterung dieses Ergebnisses kann die Theorie der kommutativen, eventuell nicht unitalen, C*-Algebren mit der Theorie der lokalkompakten Hausdorff-Räume identifiziert werden. Hierbei wird allerdings zu einem lokalkompakten Hausdorff-Raum   nicht  , sondern die Unteralgebra der C0-Funktionen auf   betrachtet.

Bemerkung: Mittels der GNS-Konstruktion kann auch jede nicht-kommutative C*-Algebra mit einer Algebra stetiger (linearer) Funktionen identifiziert werden. Hierbei wird allerdings als Multiplikation die Komposition von Operatoren und nicht die punktweise Multiplikation verwendet. Daher sollten diese beiden Vorgehensweisen nicht miteinander verwechselt werden.

Zwei weitere wichtige Ergebnisse über die Struktur von   für kompakte Hausdorff-Räume   sind der Satz von Stone-Weierstraß (Charakterisierung der dichten *-Unteralgebren von  ) und der Satz von Arzelà-Ascoli (Charakterisierung der relativ kompakten Teilmengen von  ). Ein Spezialfall des ersten Satzes ist der Approximationssatz von Weierstraß, der besagt, dass auf einer kompakten Teilmenge von   jede stetige, komplexwertige Funktion gleichmäßig durch eine Folge von Polynomfunktionen approximiert werden kann.

Verknüpfung von algebraischen und topologischen StrukturenBearbeiten

Viele der in der Mathematik untersuchten Mengen tragen in natürlicher Weise sowohl eine topologische als auch eine algebraische Struktur. Ein einfaches Beispiel hierfür sind die Mengen   und  , die durch die Betragsmetrik zu metrischen Räumen werden, und die gleichzeitig durch die Grundrechenarten zu Körpern werden. Eine besonders reichhaltige Theorie ergibt sich, wenn diese beiden Strukturen harmonieren. Dies ist dann gegeben, wenn die Verknüpfung(en), die die algebraische Struktur definieren, stetige Funktionen bezüglich der betrachteten Topologie sind. Auf diese Weise ergeben sich sehr einfach die Definition einer topologischen Gruppe, eines topologischen Rings/Körpers und eines topologischen Vektorraums.

Hat man zwei Exemplare einer solchen Kategorie (also etwa zwei topologische Gruppen), so bietet es sich an, die Funktionen zwischen diesen beiden zu untersuchen, die verträglich mit beiden Strukturen sind, die also stetige Homomorphismen sind. In der Funktionalanalysis werden zum Beispiel intensiv die Eigenschaften von (Räumen von) stetigen linearen Operatoren untersucht. In allen genannten Kategorien ist ein Homomorphismus übrigens entweder stetig oder in jedem Punkt unstetig.

Mit dem Auswahlaxiom kann man zahlreiche unstetige Homomorphismen zwischen topologischen Gruppen konstruieren, insbesondere auch zahlreiche unstetige Homomorphismen  .

Andererseits sind stetige Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen stets differenzierbar.

GeschichteBearbeiten

Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition der Stetigkeit.[15] Ihr Stetigkeitsbegriff unterschied sich grundsätzlich von dem Eulerschen, wonach eine Funktion stetig heißt, falls sie durch einen einzigen analytischen Ausdruck beschrieben werden kann. Unter einem analytischen Ausdruck verstand Euler Ausdrücke, die durch endliche (algebraische Funktionen) oder unendliche (transzendente Funktionen) Anwendung algebraischer Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Wurzelziehen gebildet werden. Im Eulerschen Sinne galt die Betragsfunktion als unstetig, weil durch zwei analytische Ausdrücke gegeben, während nach der auf Cauchy und Bolzano zurückgehenden Definition diese Funktion stetig ist.

Cauchy und Bolzano nannten eine Funktion stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offenlässt. Das heutzutage übliche  - -Kriterium wurde von Karl Weierstraß in seinem viersemestrigen Vorlesungszyklus verwendet, den er zwischen 1857 und 1887 insgesamt sechzehnmal gehalten hat.[16]

Lange Zeit war offen, ob es auch stetige reelle Funktionen gibt, die nirgends differenzierbar sind. Das erste Beispiel einer reellen stetigen aber nirgends differenzierbare Funktion wurde von Bernard Bolzano konstruiert (Bolzanofunktion). Dieses Beispiel wurde aber erst deutlich später veröffentlicht. Bekannt wurde die Existenz solcher Funktionen durch Karl Weierstraß (Weierstraß-Funktion), der damit viele zeitgenössische Mathematiker überraschte.[17]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Stetigkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. v. Querenburg, op. cit., Beispiel 1.31
  2. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 1.30
  3. B. v. Querenburg, op. cit., Kapitel 14C; Hirzebruch-Scharlau, op. cit., Kapitel I.3
  4. B. v. Querenburg, op. cit., Kapitel 2
  5. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 8.11
  6. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 4.9
  7. B. v. Querenburg, op. cit., Beispiel 2.30
  8. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 2.33
  9. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 2.42
  10. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 8.12
  11. B. v. Querenburg, op. cit., Satz 3.14
  12. Hirzebruch-Scharlau, op. cit., Kapitel 3
  13. B. v. Querenburg, op. cit., Kapitel 3
  14. Hirzebruch-Scharlau, op. cit., Satz 29.4
  15. Hildebrandt, op. cit. Kapitel 1.1
  16. Hildebrandt, op.cit., Kapitel 2.1
  17. Hildebrandt, op. cit., Kapitel 3.1