Hauptmenü öffnen
Eine -Umgebung um die Zahl , eingezeichnet auf der Zahlengeraden.

Umgebung ist ein Begriff der Mathematik aus der Topologie, der in vielen Teilgebieten gebraucht wird. Er ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der -Umgebung aus der Analysis und präzisiert das umgangssprachliche Konzept der ‚Umgebung‘ für den mathematischen Gebrauch.

Mathematische Eigenschaften, die auf eine gewisse Umgebung bezogen sind, heißen lokal, im Unterschied zu global.

Inhaltsverzeichnis

Umgebungen in metrischen RäumenBearbeiten

 
Die Menge   ist eine Umgebung des Punkts  .
 
Das Rechteck   ist keine Umgebung für den Eckpunkt  .

DefinitionBearbeiten

In einem metrischen Raum   ergibt sich der Umgebungsbegriff aus der Metrik  : Man definiert die sogenannten  -Umgebungen. Für jeden Punkt   des Raums   und jede positive reelle Zahl   wird definiert:

 

Die so definierte  -Umgebung von   wird auch offene  -Kugel um   oder offener Ball genannt. Eine Teilmenge von   ist nun genau dann eine Umgebung des Punktes  , wenn sie eine  -Umgebung von   enthält.

Äquivalent lässt sich der Umgebungsbegriff in metrischen Räumen auch direkt ohne Verwendung des Begriffes einer  -Umgebung definieren:

Eine Menge   heißt genau dann Umgebung von  , wenn es ein   gibt, so dass für alle   mit   die Eigenschaft   erfüllt ist.

Mit Quantoren lässt sich der Sachverhalt auch so ausdrücken:

 

BeispieleBearbeiten

  • Die Menge der reellen Zahlen wird durch die Definition der Metrik   zu einem metrischen Raum. Die  -Umgebung einer Zahl   ist das offene Intervall  .
  • Die Menge der komplexen Zahlen wird ebenso zum metrischen Raum. Die  -Umgebung einer Zahl   ist die offene Kreisscheibe um   vom Radius  .
  • Etwas allgemeiner tragen alle  -dimensionalen reellen Vektorräume durch den üblichen (von der euklidischen Norm induzierten) Abstandsbegriff eine Metrik. Die  -Umgebungen sind hier  -dimensionale Kugeln (im geometrischen Sinn) vom Radius  . Dies motiviert die allgemeinere Sprechweise von  -Kugeln auch in anderen metrischen Räumen.
  • Ein wichtiges Beispiel aus der reellen Analysis: Der Raum der beschränkten Funktionen auf einem reellen Intervall   wird durch die Supremumsnorm zu einem metrischen Raum. Die  -Umgebung einer beschränkten Funktion   auf   besteht hier aus allen Funktionen, die   punktweise mit einer kleineren Abweichung als   approximieren. Anschaulich: Die Schaubilder aller dieser Funktionen liegen innerhalb eines  -Schlauches“ um das Schaubild von   herum.

Nehme zum Beispiel die folgende Menge  :

Diese Menge   ist eine Umgebung von  , weil sie eine Obermenge von   für ein   ist:

Umgebungen in topologischen RäumenBearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum   Zu jedem Punkt   gehört die Menge seiner Umgebungen   Das sind in erster Linie die offenen Mengen   die   als Element enthalten. Sie heißen offene Umgebungen von   Dazu kommen alle Mengen  , die eine offene Umgebung von   als Teilmenge enthalten. Damit ist   Umgebung von   also   wenn es eine offene Menge in  , also   gibt, für die gilt  

Die Menge   der Umgebungen des Punktes   bildet bezüglich der Mengeninklusion einen Filter, den ‚Umgebungsfilter‘ von  .

Eine Teilmenge   von   heißt eine Umgebungsbasis von  , oder Basis von   wenn jede Umgebung von   ein Element von   als Teilmenge enthält. So bilden die offenen Umgebungen eines Punktes stets eine Basis seines Umgebungssystems. Ein anderes Beispiel bilden die  -Umgebungen eines Punktes in einem metrischen Raum. Ebenso in   die Quadrate mit Mittelpunkt   und positiver Seitenlänge.

Eine Teilmenge   eines topologischen Raumes   heißt Umgebung der Menge  , falls eine offene Menge   mit   existiert.

EigenschaftenBearbeiten

Für die Umgebungen gelten folgende Eigenschaften:[1]

  1. Ist  , so gilt  . (Jede Umgebung eines Punktes enthält den Punkt.)
  2. Ist   und  , so ist auch  . (Jede Obermenge einer Umgebung eines Punktes ist wieder Umgebung des Punktes.)
  3. Ist   und  , so gilt auch  . (Die Schnittmenge zweier Umgebungen eines Punktes ist wieder Umgebung des Punktes. Damit ist auch die Schnittmenge einer endlichen Menge von Umgebungen eines Punktes wieder Umgebung des Punktes.)
  4. Zu jedem   existiert ein  , so dass   für jedes   gilt. (Die Umgebung eines Punktes kann gleichzeitig Umgebung anderer in ihr enthaltener Punkte sein. Im Allgemeinen ist eine Umgebung   eines Punktes   nicht Umgebung aller in ihr enthaltenen Punkte, sie enthält aber eine weitere Umgebung   von  , so dass   Umgebung aller Punkte in   ist.)

Diese vier Eigenschaften werden auch die Hausdorffschen Umgebungsaxiome genannt und bilden die historisch erste Formalisierung des Begriffes des topologischen Raumes.

Denn ordnet man umgekehrt jedem Punkt   einer Menge   ein die obigen Bedingungen erfüllendes Mengensystem   zu, so gibt es eine eindeutig bestimmte Topologie auf  , so dass für jedes   das System   das Umgebungssystem von   ist. So erfüllen beispielsweise die oben definierten Umgebungen in metrischen Räumen die Bedingungen 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge   eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können denselben Umgebungsbegriff und damit dieselbe Topologie induzieren.

Eine Menge ist in diesem Fall genau dann offen, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz motiviert die Verwendung des Wortes „offen“ für den oben definierten mathematischen Begriff: Jeder Punkt nimmt seine nächsten Nachbarn in die offene Menge mit, keiner steht anschaulich gesprochen „am Rand“ der Menge.)

Punktierte UmgebungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine punktierte Umgebung   eines Punktes   entsteht aus einer Umgebung  , indem man den Punkt   entfernt, also

 .[2]

Punktierte Umgebungen spielen insbesondere bei der Definition des Grenzwerts einer Funktion eine Rolle, ebenso in der Funktionentheorie bei der Betrachtung von Wegintegralen holomorpher Funktionen.

BeispielBearbeiten

In einem metrischen Raum   sieht eine punktierte  -Umgebung folgendermaßen aus:

 

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 20.
  2. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 236 (Mathematische Leitfäden).

LiteraturBearbeiten