Affine Hülle

Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle. Man nennt die affine Hülle von $M$ auch Verbindungsraum, vor allem dann, wenn die Teilmenge $M$ selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen $M=U\cup V$ ist.

Definition und Eigenschaften

Definition

Sei $A$ der zu einem $\mathbb {K}$-Vektorraum gehörende affine Raum und $M\subseteq A$ eine Teilmenge von $A$. Dann ist die affine Hülle von $M$ der kleinste affine Teilraum von $A$, der die Menge $M$ ganz enthält.

Konstruktion

Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus $M$ ein beliebiger Punkt $P_{0}$ gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren $V(M)=\lbrace {\overrightarrow {PQ}}\mid P,Q\in M\rbrace$ die lineare Hülle $H$ gebildet. $H$ ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus $V(M)$, also die lineare Hülle von $V(M)$ in dem Vektorraum, der zum affinen Raum $A$ gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel Lineare Hülle beschrieben. Nun ist $P_{0}+H$ die affine Hülle von $M$.

Die affine Hülle der leeren Menge ist die leere Menge.

Eigenschaften

Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge $M$ eines affinen Raumes $A$

• ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
• ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen −1 (leere Menge) und der Dimension des Gesamtraums,
• enthält die konvexe Hülle der Menge $M$ und ist auch deren affine Hülle, sofern $A$ ein reeller affiner Raum ist.

Die Abbildung, die jeder Teilmenge eines affinen Raumes ihre lineare Hülle zuordnet, ist ein Hüllenoperator.

In der Menge $T$ der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen, hier wird, wenn $U,V\in T$ sind, $U\vee V$ für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet $T$ dann einen Verband.

• Für die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilräumen gibt es eine Dimensionsformel, siehe dazu Affiner Unterraum.

Beispiele

• Die affine Hülle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade.
• Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade, falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, sonst die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
• Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.
• Die affine Hülle der Polynommenge $\lbrace 1,x^{2},x^{3}\rbrace \subseteq \mathbb {R} [x]$ ist die Kurvenschar $\lbrace 1+a(x^{2}-1)+b(x^{3}-1):a,b\in \mathbb {R} \rbrace$. Dieses Beispiel macht deutlich, dass die affine Hülle in der Regel kein Vektorraum ist.

Siehe auch

• Lineare Hülle
• Konvexe Hülle

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lineare Algebra (= Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band II). 2., korrigierte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim 1990, ISBN 3-8274-0359-6 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 25. Dezember 2011]). 

Weblinks

• Rolf Waldi: Beschreibung von Verbindungsräumen (PDF; 60 kB) im Skript Ergänzungen zur Geometrie.