Komplement (Mengenlehre)

In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement und das absolute Komplement.

Relatives KomplementBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.

Sind   und   Mengen, dann ist das relative Komplement, auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt, die Menge genau der Elemente aus  , welche nicht in   enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

 

und man sagt „  ohne  “ oder „relatives Komplement von   in  “. Das Komplement entspricht also der Subtraktion von Mengen. „Relativ“ heißt es deshalb, weil das Komplement einer Menge   stets in Relation zu einer weiteren Menge   angegeben wird.

Das relative Komplement kann auch so definiert werden, dass   eine Teilmenge von   sein soll. Grund hierfür ist, dass für die Definition des Komplements nur diejenigen Elemente in   von Relevanz sind, die gleichzeitig auch Elemente in   sind. Die Definitionen sind insofern äquivalent, als dass für beliebige Mengen   und   stets   gilt, d. h. es gibt mit   eine Teilmenge von  , deren Komplement in   dem Komplement von   (welches nicht notwendigerweise Teilmenge von   ist) in   entspricht.

BeispieleBearbeiten

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  • Für   (reelle Zahlen) und   (rationale Zahlen), ist   die Menge der irrationalen Zahlen.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien  ,   und   Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

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Absolutes KomplementBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Das Komplement von A in U

Ist ein Universum   definiert, so wird für jede Menge   das relative Komplement von   in   auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von   genannt und als   (manchmal auch als  , oder auch als  ,   bzw.   wenn   fest ist) notiert, es ist also:

 

BeispielBearbeiten

Ist das Universum zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das (absolute) Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist häufig der Ergebnisraum   als Universum gesetzt. Für ein Ereignis   ist dessen Gegenereignis   das Komplement von  . Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses „Würfel zeigt eine 5 oder 6“ das Ereignis „Würfel zeigt eine Zahl kleiner/gleich 4“.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien   und   Teilmengen des Universums  , dann gelten folgende Identitäten:

De Morgansche Regeln:

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Komplementgesetze:

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  • Ist  , so ist  

Involution:

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Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:

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Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn   eine echte nichtleere Teilmenge von   ist,   eine Partition von   ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.