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In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement und das absolute Komplement.

Inhaltsverzeichnis

Relatives KomplementBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.

Sind   und   Mengen und ist   eine Teilmenge von  , dann ist das relative Komplement, auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt, die Menge genau der Elemente aus  , welche nicht in   enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

 

und man sagt „B ohne A“. Das Komplement unterscheidet sich von der normalen Subtraktion von Mengen nur dadurch, dass die Teilmengenbeziehung zwischen den betrachteten Mengen bestehen muss. Relativ heißt es deshalb, weil man für eine Menge   das Komplement nicht angeben kann, ohne den Kontext zu kennen. Ist hingegen die Menge   fixiert, so kann man   anstelle von „das relative Komplement von A in B“ auch einfach nur „das Komplement von A“ nennen.

BeispieleBearbeiten

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  • Für   (reelle Zahlen) und   (rationale Zahlen), ist   die Menge der irrationalen Zahlen.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien  ,   und   Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

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Absolutes KomplementBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Das Komplement von A in U

Ist ein Universum   definiert, so wird für jede Menge   das relative Komplement von   in   auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von   genannt und als   (manchmal auch als  , oder auch als  ,   bzw.   wenn   fest ist) notiert, es ist also:

 

BeispielBearbeiten

Ist das Universum zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das (absolute) Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien   und   Teilmengen des Universums  , dann gelten folgende Identitäten:

De Morgansche Regeln:

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Komplementgesetze:

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  • Ist  , so ist  

Involution:

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Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:

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Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn   eine echte nichtleere Teilmenge von   ist,   eine Partition von   ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.