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In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von .

DefinitionBearbeiten

Ist   ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss   einer Teilmenge   der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von  , die   beinhalten. Die Menge   ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von  .

Ein Punkt   heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von  , wenn in jeder Umgebung von   mindestens ein Element von   enthalten ist.   besteht genau aus den Berührpunkten von  .

Der Abschluss als Menge von GrenzwertenBearbeiten

Erfüllt   das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn   ein metrischer Raum ist), so ist   die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in   liegen.

Ist   ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge   die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in   liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen RäumenBearbeiten

Es sei   ein metrischer Raum mit Metrik  . Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle   einer offenen Kugel

 

mit Radius   und Mittelpunkt   nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

 

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

 

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

 

definiert ist. Dann gilt für jedes  :

 

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

 

Ein Beispiel ist die Menge   mit der vom euklidischen Raum   induzierten Metrik. Hier erfüllt   die angegebene Inklusionsbedingung:

 
 
 

LiteraturBearbeiten

  • Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.