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Metrischer Raum

Menge, auf der eine Metrik (Abstandsfunktion) definiert ist

Unter einem metrischen Raum versteht man in der Mathematik eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist. Eine Metrik (auch Abstandsfunktion) ist eine Funktion, die je zwei Elementen des Raums einen nicht negativen reellen Wert zuordnet, der als Abstand der beiden Elemente voneinander aufgefasst werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Formale DefinitionBearbeiten

Sei   eine beliebige Menge. Eine Abbildung   heißt Metrik auf  , wenn für beliebige Elemente  ,   und   von   die folgenden Axiome erfüllt sind:

(1) Positive Definitheit:       und      ,
(2) Symmetrie:  ,
(3) Dreiecksungleichung:  .

Die Forderung   kann weggelassen werden, denn sie folgt aus den anderen, da

 

GrundbegriffeBearbeiten

  heißt metrischer Raum, wenn   eine Metrik auf   ist. Manche Autoren fordern zusätzlich, dass   eine nichtleere Menge sein soll. In der Praxis bezeichnet man zumeist   allein als den metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, dass in diesem Raum die Metrik   benutzt wird.

Eine Isometrie ist eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik – also die Abstände zwischen je zwei Punkten – erhält.

Erzeugte TopologieBearbeiten

Die offenen Kugeln in einem metrischen Raum erzeugen (als Basis) eine Topologie, die von der Metrik induzierte Topologie.

Verallgemeinerungen und SpezialisierungenBearbeiten

Durch Abschwächung, Weglassen oder Verschärfung von einer oder mehreren der Bedingungen (1) bis (3) ergeben sich verschiedene Verallgemeinerungen bzw. Spezialisierungen. Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen sind leider nicht für alle Gebiete der Mathematik, in denen sie verwendet werden, standardisiert. So wird speziell unter einer Semimetrik in der Funktionalanalysis etwas anderes verstanden als in der Topologie (siehe unten).

UltrametrikBearbeiten

Wird die Bedingung der Dreiecksungleichung dahingehend verschärft, dass der Abstand   nicht länger sein darf als der längere der beiden Abstände   und   (mit beliebigem  ), erhält man den Begriff der Ultrametrik.

PseudometrikBearbeiten

Wird auf die Bedingung   verzichtet, so erhält man den Begriff der Pseudometrik. In der Funktionalanalysis wird hierfür auch die Bezeichnung Halbmetrik oder Semimetrik verwendet. In pseudometrischen Räumen können nichtidentische Punkte den Abstand 0 haben. Eine Pseudometrik ist positiv semidefinit, d. h. Abstände sind stets größer oder gleich 0.

QuasimetrikBearbeiten

Wird auf die Symmetrie verzichtet, erhält man den Begriff der Quasimetrik. Aus einer Quasimetrik   lässt sich durch   eine Metrik auf   erzeugen.

Nicht-archimedische MetrikenBearbeiten

Wird die Dreiecksungleichung abgeschwächt oder verschärft, dann erhält man nicht-archimedische Metriken. Ein Beispiel ist etwa   für ein   oder die Ultrametrik.

In der Topologie werden Metriken ohne Dreiecksungleichung manchmal auch als Semimetriken bezeichnet.

PrämetrikBearbeiten

Wird nur Nicht-Negativität und Bedingung (1) gefordert, dann spricht man von einer Prämetrik. Auf   ist zum Beispiel durch

 

eine solche Prämetrik definiert.

BeispieleBearbeiten

Durch Normen erzeugte MetrikenBearbeiten

Jede Norm auf einem Vektorraum induziert durch die Festlegung

 

eine Metrik. Somit ist jeder normierte Vektorraum (und erst recht jeder Innenproduktraum, Banachraum oder Hilbertraum) ein metrischer Raum.

Eine Metrik, die aus einer p-Norm abgeleitet ist, heißt auch Minkowski-Metrik. Wichtige Spezialfälle sind

Weitere Beispiele für Normen (und damit auch für Metriken) finden sich im Artikel Norm (Mathematik).

Aus einer p-Norm abgeleitet sind zum Beispiel die Metriken der folgenden wichtigen Räume:

  • der eindimensionale Raum der reellen oder komplexen Zahlen mit dem absoluten Betrag als Norm (mit beliebigem  ) und der dadurch gegebenen Betragsmetrik
 
 

Als eine Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik

 

bezeichnet, die von einer Funktion   induziert wird, welche die meisten Eigenschaften einer Norm besitzt, aber nicht homogen ist.

Nicht durch Normen erzeugte MetrikenBearbeiten

  • Auf jeder Menge lässt sich eine triviale Metrik, die sogenannte diskrete Metrik (die sogar eine Ultrametrik ist) definieren durch
     
  • Auf   wird durch   eine Metrik definiert. Bezüglich dieser Metrik ist   nicht vollständig. So ist z. B. die Folge   eine  -Cauchy-Folge, die nicht in   konvergiert. Die von dieser Metrik erzeugte Topologie stimmt zwar mit der Standardtopologie auf   überein, aber die von den beiden Metriken induzierten uniformen Strukturen sind offensichtlich verschieden.
  • Im Allgemeinen nicht durch eine Norm induziert ist die riemannsche Metrik, die aus einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine riemannsche Mannigfaltigkeit macht. Beispiele dafür:
    • die natürliche Metrik auf einer Kugeloberfläche, in der der Großkreis die kürzeste Verbindung (Geodäte) zwischen zwei Punkten ist;
    • die uneigentliche Metrik im Minkowski-Raum   der speziellen Relativitätstheorie, in der zeitähnliche Abstände durch [(Δt)2 - (Δx/c)2 - (Δy/c)2 - (Δz/c)2]1/2 und ortsähnliche Abstände durch [(Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 - (Δct)2]1/2 gegeben sind;
    • die von der Materieverteilung abhängige Verallgemeinerung dieser Metrik in der allgemeinen Relativitätstheorie.
  • Die sogenannte französische Eisenbahnmetrik ist ein beliebtes Übungsbeispiel für eine nicht durch eine Norm induzierte Metrik. Sie wird unter Bezugnahme auf einen ausgezeichneten Punkt   („Paris“) wie folgt definiert: Der Abstand zweier verschiedener Punkte, deren Verbindungsgerade durch   verläuft, ist ihr Abstand unter der gewöhnlichen Euklidischen Metrik. Der Abstand zweier verschiedener Punkte, deren Verbindungsgerade nicht durch   verläuft, ist die Summe ihrer Abstände von  .
  • Die Hausdorff-Metrik misst den Abstand zwischen Teilmengen, nicht Elementen, eines metrischen Raums; man könnte sie als Metrik zweiten Grades bezeichnen, denn sie greift auf eine Metrik ersten Grades zwischen den Elementen des metrischen Raums zurück.
  • Der Hamming-Abstand ist eine Metrik auf dem Coderaum, die die Unterschiedlichkeit von (gleich langen) Zeichenketten angibt.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer StrukturenBearbeiten

Hierarchie topologischer
Räume und der zugehörigen Strukturen
Euklidischer Raum hat Skalarprodukt
ist induziert
Normierter Raum hat Norm
ist induziert
Metrischer Raum hat Metrik
ist induziert
Uniformer Raum hat Uniforme Struktur
ist induziert
Topologischer Raum hat Topologie

Metriken geben einem Raum eine globale und eine lokale mathematische Struktur. Die globale Struktur kommt in geometrischen Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck. Die lokale metrische Struktur, also die Definition kleiner Abstände, ermöglicht unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen die Einführung von Differentialoperationen.

Der Begriff „topologischer Raum“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist. Damit ist ein topologischer Raum (X,T) metrisierbar, wenn eine Metrik d auf X existiert, welche die Topologie T induziert.

Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert. Siehe dazu den ausführlichen Artikel vollständiger Raum. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum. Ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist, heißt Hilbertraum.
Mangels struktureller Voraussetzungen lassen sich Cauchy-Folge und Vollständigkeit auf allgemeinen topologischen Räumen nicht definieren. Existiert zumindest eine uniforme Struktur, dann gibt es wenigstens Cauchy-Filter.

GeschichteBearbeiten

Metrische Räume wurden 1906 von Maurice Fréchet in der Arbeit Sur quelques points du calcul fonctionnel erstmals verwendet.[1] Der Begriff metrischer Raum wurde von Felix Hausdorff geprägt.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. F. Lemmermeyer: Topologie. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.