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Die Maximumsnorm, Maximumnorm oder Tschebyschew-Norm[1] ist eine spezielle Norm für Funktionen beziehungsweise für Vektoren oder Matrizen. Sie ist ein Spezialfall der Supremumsnorm.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein kompakter Raum und   die Menge aller auf   reell- oder komplexwertigen stetigen Funktionen. Dann heißt die Funktion  , die durch

 

definiert ist, Maximumsnorm. Die Funktion wird auch mit   bezeichnet und erfüllt die drei charakteristischen Eigenschaften einer Norm.[2] Wohldefiniert ist die Maximumsnorm aufgrund des Satzes vom Minimum und Maximum, der die Existenz des Maximums sichert.

EigenschaftenBearbeiten

  • Zusammen mit dem Produkt   ist der normierte Raum   eine kommutative Banachalgebra.[3]

SpezialfälleBearbeiten

Ein wichtiger Spezialfall ist die Maximumsnorm für Vektoren  . Wählt man   und stattet die Menge mit der diskreten Topologie aus, dann ist   ein kompakter Raum und jede reell- oder komplexwertige Funktion auf   ist stetig. Somit entspricht der Raum   dem  -dimensionalen Vektorraum   und die Maximumsnorm auf Vektoren ist ein Spezialfall der Maximumsnorm für stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Sieht man eine Matrix   als entsprechend langen Vektor im   an, ist es auch möglich die Maximumsnorm auf Matrizen zu definieren.

Als VektornormBearbeiten

Für einen Vektor   nennt man

 

die Maximumsnorm von  .[4] Die Maximumsnorm kann auch als Grenzfall der p-Normen   aufgefasst werden. Lässt man   gegen unendlich laufen, so erhält man aus der p-Norm die Maximumsnorm.[4] Aus diesem Grund wird die Maximumsnorm für Vektoren auch als  -Norm (Unendlich-Norm) bezeichnet.

Die Kugeln bezüglich der Maximumsnorm sind gerade die  -dimensionalen Würfel, deren Kanten alle parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
Die Extremalpunkte einer solchen abgeschlossenen „Kugel“ sind gerade die Eckpunkte dieses Würfels. Die Menge dieser Punkte ist (für  ) eine echte Teilmenge des Randes des Würfels, der aus allen Rand-(Hyper-)Flächen des Würfels besteht.   mit der Maximumsnorm ist für   also ein nicht strikt konvexer Raum. Trotzdem ist die Maximumsnorm äquivalent zur Euklidischen Norm, durch die   strikt konvex wird.

Als MatrixnormBearbeiten

Analog zur Vektornorm hat die Maximumsnorm für Matrizen   die Darstellung

 

Diese Norm ist jedoch nicht submultiplikativ, daher wird im Zusammenhang mit Matrizen statt dieser Norm oftmals die submultiplikative Gesamtnorm   verwendet.

BeispieleBearbeiten

Spaltenvektor

Für den Spaltenvektor   gilt

 

Die Maximumsnorm von   ist also 9.

Funktion

Für die gebrochenrationale Funktion   definiert durch   gilt

 

Dies kann durch zweifache Ableitung und Bestimmung der Extremwerte gezeigt werden. Die Maximumsnorm der Funktion   auf dem Intervall   ist also 1.

SupremumsnormBearbeiten

Im Gegensatz zur Maximumsnorm wird die Supremumsnorm   nicht für stetige, sondern für beschränkte Funktionen   definiert. In diesem Fall ist es nicht notwendig, dass   kompakt ist;   kann eine beliebige Menge sein. Da stetige Funktionen auf kompakten Räumen beschränkt sind, ist die Maximumsnorm ein Spezialfall der Supremumsnorm.

VeranschaulichungBearbeiten

Anschaulich gesprochen ist der aus der Maximumsnorm abgeleitete Abstand immer dann relevant, wenn man sich in einem mehrdimensionalen Raum in alle Dimensionen gleichzeitig und unabhängig voneinander gleich schnell bewegen kann.

Als einfaches Beispiel hierfür kann die Bewegung eines Königs auf einem Schachbrett dienen: Gemäß den Regeln kann sich der König in einem Zug auf eine benachbarte Linie oder eine benachbarte Reihe bewegen, wobei beides kombiniert werden kann (Diagonalzug). Um nun zu bestimmen, wie viele Züge ein König minimal benötigt, um von einem Feld auf ein anderes zu gelangen, muss man das Maximum der durchzuführenden Reihenwechsel und der durchzuführenden Linienwechsel bestimmen. Repräsentiert man also ein Feld durch ein geordnetes Paar der Zahlen 1, …,8, so benötigt man vom Feld   zum Feld   gerade

  Züge.

Beispiel: Die Felder b8 und f3 des Schachbretts werden in dieser Notation durch die Paare   und   dargestellt. Ein König benötigt also   Züge, um vom einen Feld zum anderen zu gelangen. Dabei wurde nicht berücksichtigt, dass der Weg durch eigene oder gegnerische Figuren versperrt sein kann. Außerdem wurde bei den Überlegungen die Zugmöglichkeit der Rochade ignoriert.

Allgemeiner kann die Maximumsnorm benutzt werden, um zu bestimmen, wie schnell man sich in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum bewegen kann, wenn angenommen wird, dass die Bewegungen in  -,  - (und  -)Richtung unabhängig, gleichzeitig und mit gleicher Geschwindigkeit erfolgen.

Noch allgemeiner kann man ein System betrachten, dessen Zustand durch   unabhängige Parameter bestimmt wird. An allen Parametern können gleichzeitig und ohne gegenseitige Beeinflussung Änderungen vorgenommen werden. Dann „misst“ die Maximumsnorm in   die Zeit, die man benötigt, um das System von einem Zustand in einen anderen zu überführen. Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass man die Parameter so normiert hat, dass gleiche Abstände zwischen den Werten auch gleichen Änderungszeiten entsprechen. Andernfalls müsste man eine gewichtete Version der Maximumsnorm verwenden, die die unterschiedlichen Änderungsgeschwindigkeiten der Parameter berücksichtigt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Tschebyschew-Norm. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  2. Maximumnorm. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
  3. a b Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2006, ISBN 3-540-34187-0, S. 38.
  4. a b Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 14. Auflage Teubner Verlag, 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8, S. 11–12.