Hausdorff-Metrik

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen , eines metrischen Raums .

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

DefinitionBearbeiten

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand   zwischen einem Punkt   und einer nichtleeren kompakten Teilmenge   unter Rückgriff auf die Metrik   des Raums   als

 

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen   und   als

 

Man kann zeigen, dass   in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von   ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

 ,[1]

wobei

 ,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens   zur Menge  .

AnwendungenBearbeiten

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. James Munkres: Topology. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (google.com).