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Kompakter Raum

Begriff der mathematischen Topologie

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist unerheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist.

Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums wie das Intervall . Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen (nicht beschränkt) oder (nicht abgeschlossen).

DefinitionBearbeiten

Kompaktheit im Euklidischen RaumBearbeiten

Eine Teilmenge des euklidischen Raums   heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Für diese spezielle Definition gilt der Satz von Heine-Borel:

Eine Teilmenge des   ist genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung der Teilmenge eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Der Satz von Heine-Borel motiviert die folgende Verallgemeinerung der Definition der Kompaktheit auf topologische Räume.

Kompaktheit in topologischen RäumenBearbeiten

Ein topologischer Raum   heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung

 

eine endliche Teilüberdeckung

 

besitzt.[1]:105

Eine Teilmenge   eines topologischen Raums   heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung

 

eine endliche Teilüberdeckung

 

besitzt. Die beiden Begriffe sind kompatibel. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie kompakt ist.[1]:105

Einige Autoren, wie beispielsweise Nicolas Bourbaki[1]:105, verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff quasikompakt und reservieren den Begriff kompakt für kompakte Hausdorff-Räume. Manche Autoren nennen die Kompaktheit zur klareren Abgrenzung von der Folgenkompaktheit auch Überdeckungskompaktheit.[2]

GeschichteBearbeiten

Um das Jahr 1900 waren die folgenden Charakterisierungen kompakter Teilmengen   des   bekannt:

  1. Die Teilmenge   ist beschränkt und abgeschlossen.
  2. Jede Teilmenge von   mit unendlich vielen Elementen hat wenigstens einen Häufungspunkt. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
  3. Jede Folge in   besitzt eine in   konvergente Teilfolge. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
  4. Jede offene Überdeckung von   hat eine endliche Teilüberdeckung. (Satz von Heine-Borel)

Die erste Charakterisierung ist abhängig von der gewählten Metrik. Die anderen drei Charakterisierungen hingegen lassen sich auf beliebige topologische Räume übertragen und bieten somit eine Möglichkeit einen Kompaktheitsbegriff für topologische Räume zu definieren. Maurice René Fréchet nannte 1906 Teilmengen metrischer Räume kompakt, die die zweite Eigenschaft erfüllten. Diese Definition wurde später auf topologische Räume übertragen. Man nannte also die im heutigen Sinne abzählbar kompakten Räume damals kompakt. Pawel Sergejewitsch Alexandrow und Pawel Samuilowitsch Urysohn führten 1924 den heutigen Kompaktheitsbegriff im Sinne der vierten Eigenschaft ein. Räume, die diese Eigenschaft erfüllten, nannten sie bikompakt. Diese Kompaktheitsdefinition setzte sich allerdings erst um 1930 durch, als Andrei Nikolajewitsch Tichonow bewies, dass beliebige Produkte bikompakter Räume wieder bikompakte Räume ergeben. Dieses Resultat ist heute als Satz von Tychonoff bekannt. Für abzählbar kompakte und folgenkompakte Räume (Eigenschaft drei) gilt dies nicht.[1]:330

Von Endlichkeit zu KompaktheitBearbeiten

 
Der Punkt   wird von   getrennt.

Ein wichtiger Grund für die Betrachtung kompakter Räume ist, dass sie in mancher Hinsicht als Verallgemeinerung von endlichen topologischen Räumen gesehen werden können, insbesondere sind auch alle endlichen Räume kompakt. Es gibt viele Ergebnisse, die sich leicht für endliche Mengen beweisen lassen, deren Beweise dann mit kleinen Änderungen auf kompakte Räume zu übertragen sind. Hier ein Beispiel:

Wir setzen voraus, dass   ein Hausdorff-Raum ist,   ein Punkt aus   und   eine endliche Teilmenge von  , die   nicht enthält. Dann können wir   und   durch Umgebungen trennen: für jedes   aus   seien   und   disjunkte Umgebungen, die jeweils   bzw.   enthalten. Dann sind die Schnittmenge aller   und die Vereinigung aller   die benötigten Umgebungen von   und  .

Ist   nicht endlich, gilt der Beweis nicht mehr, da der Durchschnitt von unendlich vielen Umgebungen keine Umgebung mehr sein muss. Für den Fall, dass   kompakt ist, lässt sich die Beweisidee aber wie folgt übertragen:

Wir setzen wieder voraus, dass   ein Hausdorff-Raum ist,   ein Punkt aus   und   eine kompakte Teilmenge von  , die   nicht enthält. Dann können wir   und   durch Umgebungen trennen: für jedes   aus   seien   und   disjunkte offene Umgebungen, die jeweils   bzw.   enthalten. Da   kompakt ist und von den offenen Mengen   überdeckt wird, gibt es endlich viele Punkte   mit  . Dann sind die Schnittmenge aller   und die Vereinigung aller  ,  , die benötigten Umgebungen von   und  .

Man sieht an diesem Beispiel, wie die Kompaktheit verwendet wird, um von möglicherweise unendlich vielen Umgebungen auf endlich viele zu kommen, mit denen dann der bekannte Beweis für endliche Mengen fortgeführt werden kann. Viele Beweise und Sätze über kompakte Mengen folgen diesem Muster.

BeispieleBearbeiten

Kompakte RäumeBearbeiten

  • Betrachtet man das geschlossene Einheits-Intervall   als Teilmenge von   versehen mit der Standardtopologie, so ist das Intervall ein kompakter, topologischer Raum. Ebenfalls kompakt sind die  -Kugeln und  -Sphären betrachtet als Teilmengen der   versehen mit der Standardtopologie für beliebige natürliche Zahlen  .
  • Alle topologischen Räume mit endlicher Topologie, z. B. endliche Räume, sind kompakt.
  • Für eine natürliche Zahl   betrachte die Menge   aller Folgen mit Werten aus  . Auf dieser Menge kann man eine Metrik   definieren, indem man   setzt, wobei  . Ist  , so sei  . Aus dem Satz von Tychonoff (siehe unten) folgt, dass der durch diese Metrik induzierte topologische Raum kompakt ist. Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden, nicht nur für  . Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar ultrametrisch. Es gilt folgendes:
    • Ist  , dann ist die Abbildung   ein Homöomorphismus von   in die Cantor-Menge.
    • Ist   eine Primzahl, dann ist die Abbildung   ein Homöomorphismus von   in die  -adischen ganzen Zahlen.
  • Das Spektrum eines beliebigen stetigen linearen Operators auf einem Hilbertraum ist eine kompakte Teilmenge der Komplexen Zahlen.
  • Das Spektrum eines beliebigen kommutativen Ringes oder einer booleschen Algebra ist ein kompakter Raum mit der Zariski-Topologie.
  • Weitere Beispiele kompakter Mengen aus der Funktionalanalysis erhält man durch den Satz von Banach-Alaoglu, den Satz von Kolmogorow-Riesz, den Satz von Arzelà-Ascoli oder das Kompaktheitskriterium von James.

Nicht kompakte RäumeBearbeiten

  • Die reellen Zahlen   versehen mit der Standardtopologie sind nicht kompakt. Ebenfalls nicht kompakt sind das halboffene Intervall  , die ganzen Zahlen   oder die natürlichen Zahlen   betrachtet als Teilmengen von  . Versieht man jedoch beispielsweise   mit der trivialen Topologie  , so ist   kompakt. Ob eine Menge kompakt ist, hängt daher im Allgemeinen von der gewählten Topologie ab.
  • Die abgeschlossene Einheitskugel des Raumes   der beschränkten reellen Zahlenfolgen (siehe Lp-Raum) ist nicht kompakt, obwohl sie abgeschlossen und beschränkt ist. Es gilt allgemein, dass die Einheitskugel in einem normierten Raum genau dann kompakt ist, wenn die Dimension des Raums endlich ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine reellwertige stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an.
  • Jede Umgebung eines Kompaktums in einem uniformen Raum ist gleichmäßige Umgebung. Das heißt, es liegt mit einer Nachbarschaft in der Umgebung. Im metrischen Falle heißt dies, dass alle Punkte mit gleich großen Kugeln einer gewählten Größe innerhalb der Umgebung liegen. Die Nachbarschaft kann sogar so gewählt werden, dass das Komplement der Umgebung mit der Nachbarschaft außerhalb des Kompaktums mit der Nachbarschaft liegt.[3]
  • Jede unendliche Folge   von Elementen einer kompakten Menge   besitzt einen Häufungspunkt in  . Erfüllt   das erste Abzählbarkeitsaxiom, so existiert sogar eine in   konvergente Teilfolge  .
    Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, das heißt eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen   mit der Ordnungstopologie.)
  • Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.
  • Für jede Teilmenge   des euklidischen Raumes   sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche Satz von Heine-Borel):
    •   ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von   hat eine endliche Teilüberdeckung.
    • Jede Folge in der Menge   hat eine in   konvergente Teilfolge (also mindestens einen Häufungspunkt).
    • Die Menge   ist abgeschlossen und beschränkt.
  • Ein kompakter Hausdorff-Raum ist normal.
  • Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in dem Raum eine konvergente Teilfolge mit ihrem Grenzwert in dem Raum hat.
  • Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.
  • Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt.
  • Ein topologischer Raum kann genau dann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden, wenn er ein Tychonoff-Raum ist.
  • Ein metrisierbarer Raum   ist genau dann kompakt, wenn jeder zu   homöomorphe metrische Raum vollständig ist.
  • Falls der metrische Raum   kompakt ist und eine offene Überdeckung von   gegeben ist, dann existiert eine Zahl  , so dass jede Teilmenge von   mit Durchmesser   in einem Element der Überdeckung enthalten ist. (Lemma von Lebesgue)
  • Jeder kompakte Hausdorffraum lässt genau eine uniforme Struktur zu, die die Topologie induziert. Die Umkehrung gilt nicht.[4]
  • Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz)
  • Zwei kompakte Hausdorff-Räume   und   sind genau dann homöomorph, wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen   und   isomorph sind.

Andere Formen von KompaktheitBearbeiten

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber nicht äquivalent in allgemeinen topologischen Räumen:

  • Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
  • Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen  -Häufungspunkt.)
  • Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt.
  • Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Häufungspunkt.

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

  • Kompakte Räume sind abzählbar kompakt.
  • Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
  • Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.
  • Eberlein-kompakte Räume sind folgenkompakt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9
  2. Winfried Kaballo: Grundkurs Funktionalanalysis. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2149-4, S. 26.
  3. Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics. General Topology. Band 1. Springer, Berlin u. a. 1966, Kapitel II, § 4.3, Proposition 4.
  4. István Sándor Gál: Uniformizable Spaces with a Unique Structure. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 9, Nr. 4, August 1959, ISSN 0030-8730, S. 1053–1060 (online (PDF; 1,2 MB)).