Auswahlsatz von Blaschke

mathematischer Satz

Der Auswahlsatz von Blaschke (engl. Blaschke Selection Theorem) ist ein mathematischer Satz, welcher ein Konvergenzproblem der Konvexgeometrie behandelt. Der Satz ist dem Übergangsfeld zwischen Konvexgeometrie und Topologie zuzurechnen. Er wurde von dem Geometer Wilhelm Blaschke in dessen Schrift Kreis und Kugel im Jahre 1916 vorgestellt.

Formulierung des Auswahlsatzes

Bearbeiten

Der Auswahlsatz von Blaschke lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:[1][2][3][4][5]

Gegeben sei eine Folge   von nichtleeren kompakten konvexen Teilmengen eines endlich-dimensionalen normierten Vektorraums   über  . Sind diese Teilmengen gleichmäßig beschränkt in dem Sinne, dass sie alle von einer kompakten Teilmenge von   umfasst werden, so lässt sich eine Teilfolge   auswählen, welche in der Hausdorff-Metrik gegen eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge   von   konvergiert.

Andere Formulierung des Auswahlsatzes

Bearbeiten

Bezeichnet man mit   das Mengensystem der nichtleeren kompakten konvexen Teilmengen des normierten Vektorraums   und mit   die Hausdorff-Metrik auf  , so besagt der Auswahlsatz:[6][7]

  ist ein lokalkompakter metrischer Raum.

Anwendungen

Bearbeiten

Der Auswahlsatz findet häufig dort Anwendung, wo Existenzbeweise zu Extremalproblemen der Konvexgeometrie zu führen sind.[8] Wie schon Wilhelm Blaschke in Kreis und Kugel zeigt,[9] kann mit Hilfe des Auswahlsatzes beispielsweise die isoperimetrische Ungleichung abgeleitet werden.

Verwandte Resultate

Bearbeiten

Der Auswahlsatz von Blaschke ergibt sich als Folgerung aus dem Satz von Arzelà-Ascoli und erweist sich in einer verallgemeinerten Fassung zu jenem (in der klassischen Form) sogar als äquivalent.[10]

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. W. Blaschke: Kreis und Kugel. 1949, S. 62.
  2. P. M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. 2007, S. 85.
  3. S. R. Lay: Convex sets and their applications. 1982, S. 98.
  4. J. T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 226.
  5. F. A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 47.
  6. H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. 1957, S. 154.
  7. J. T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 220.
  8. S. R. Lay: Convex sets and their applications. 1982, S. 101.
  9. W. Blaschke: Kreis und Kugel. 1949, S. 79 ff.
  10. P. M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. 2007, S. 84–88.