Satz von Arzelà-Ascoli

mathematischer Satz

Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847–1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843–1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis. Er beantwortet die Frage, welche Teilmengen in bestimmten Funktionenräumen (relativ) kompakt sind.

Aussage (skalarwertiger Fall)Bearbeiten

Sei   ein kompakter topologischer Raum und   eine Teilmenge stetiger reell- oder komplexwertiger Funktionen  . Dann gilt: Die Teilmenge   ist genau dann relativ kompakt im Banachraum  , versehen mit der Supremumsnorm, wenn   gleichgradig stetig ist und punktweise beschränkt ist, d. h. für jedes   die Menge   der Funktionswerte in   beschränkt in   bzw.   ist.

Die Bedeutung des Satzes von Arzelà-Ascoli zeigt sich im Vergleich zum Kompaktheitssatz von Riesz, der besagt, dass Kugeln in unendlichdimensionalen Banachräumen nicht relativ kompakt sind. Trotzdem gibt es auch in unendlichdimensionalen Banachräumen viele kompakte Teilmengen und der Satz von Arzelà-Ascoli charakterisiert diese, zumindest im Spezialfall, dass der Banachraum von der Form   ist.

Beweisskizze (für obige "dann ... wenn ..."-Aussage im Falle, dass X ein metrischer Raum ist)Bearbeiten

Der Beweis benutzt das cantorsche Diagonalverfahren, in welchem auf rekursive Art partiell konvergente Teilfolgen konstruiert werden, um dann quer durch alle Teilfolgen eine überall konvergente Teilfolge zu erhalten.

Sei   eine beliebige Funktionenfolge in der Funktionenfamilie  . Zu zeigen ist, dass diese eine in   konvergente Teilfolge enthält.

Dazu wählt man sich eine aufsteigende Folge von endlichen Teilmengen  , welche gegen eine Teilmenge   „konvergiert“, welche in der kompakten Punktmenge   dicht ist.

Die Funktionenfolge, eingeschränkt auf eine solche Punktmenge,  , enthält nach Voraussetzung eine auf   konvergente Teilfolge, denn ein endliches kartesisches Produkt relativ kompakter Mengen ist wieder relativ kompakt.

Sei   die nullte, gegebene Folge. Dann kann rekursiv, beginnend mit  , in der Funktionenfolge   eine Teilfolge   ausgewählt werden, die auf der vergrößerten Punktmenge   konvergiert. Schlussendlich konvergiert nach dem Cantorschen Diagonal„trick“, die Diagonalfolge   auf der dichten Teilmenge   gegen eine Funktion  .

Aus der gleichgradigen Stetigkeit folgt, dass die so erhaltene Grenzfunktion auf ganz   stetig fortgesetzt werden kann zu   und es folgt ebenfalls, dass die Diagonalfolge auch in der Supremumsnorm gegen die so konstruierte Funktion konvergiert:   in  , das heißt

 .

AnwendungenBearbeiten

Funktionalanalysis: Kompaktheit von OperatorenBearbeiten

Den Satz von Arzelà-Ascoli kann man dazu verwenden, nachzuweisen, dass ein Operator kompakt ist. Sei beispielsweise   der Raum quadratintegrierbaren Funktionen, dann ist   definiert durch

 

ein nichtlinearer kompakter Operator. Für alle   und alle   ist   von der Form   und somit stetig. Des Weiteren gilt  . Also gilt für beschränktes   die Teilmengenrelation   und   ist somit beschränkt und gleichgradig stetig. Daher kann man den Satz von Arzelà-Ascoli anwenden und erhält, dass die Menge   relativ kompakt ist in   bezüglich der Supremumsnorm. Deshalb bildet also   beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen ab und ist somit ein kompakter Operator.

Gewöhnliche DifferentialgleichungenBearbeiten

Der Satz von Peano verwendet den Satz von Arzelà-Ascoli, um zu zeigen, dass die im Beweis verwendeten Operatoren relativ kompakt sind.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Allgemeinere WertebereicheBearbeiten

Anstelle von skalarwertigen Funktionen kann man auch Funktionen mit Werten in   betrachten, wobei   wahlweise ein normierter Vektorraum, ein topologischer Vektorraum, ein metrischer Raum oder ganz allgemein ein uniformer Raum sein kann. Der Funktionenraum   wird nach wie vor mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz versehen. Es reicht dann allerdings nicht mehr aus, punktweise Beschränktheit zu fordern, sondern die Funktionenmenge muss punktweise relativ kompakt (in  ) sein. Genauer gilt:

Eine Teilmenge   ist relativ kompakt bezüglich der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz, wenn sie gleichgradig stetig ist und für jedes   gilt, dass   im Raum   relativ kompakt ist.

Allgemeinere DefinitionsbereicheBearbeiten

Es existieren auch Verallgemeinerungen, bei denen der kompakte Raum   durch einen allgemeineren topologischen Raum ersetzt wird. Hierbei ist dann aber der Funktionenraum mit der kompakt-offenen Topologie zu versehen, also der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Teilmengen.

Anwendung in der Differentialgeometrie: Kompaktheit des Raumes der GeodätenBearbeiten

Der Satz von Arzelà-Ascoli lässt sich verallgemeinern auf Familien gleichgradig stetiger Funktionen mit Werten in einer kompakten Mannigfaltigkeit  .

Insbesondere kann man ihn anwenden auf Familien von Abbildungen   eines Intervalls   in eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit   und erhält, dass für feste   jede Familie von  -Quasigeodäten eine konvergierende Teilfolge besitzt. Die Konvergenz ist gleichmäßig, falls   ein endliches Intervall, und lokal gleichmäßig, falls   ist. Man kann zeigen, dass für eine konvergente Folge von Geodäten der Grenzwert wieder eine Geodäte ist.

Für eine kompakte Mannigfaltigkeit   ist der Raum aller Geodäten also kompakt bzgl. der kompakt-offenen Topologie.

LiteraturBearbeiten

  • Cesare Arzelà: Un’ osservazione intorno alle serie di funzioni. Rend. dell' Accad. R. delle Sci. dell'Istituto di Bologna, S. 142–159 (1882–1883).
  • Cesare Arzelà: Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. Vol. 5 No 5, S. 55–74 (1895).
  • Giulio Ascoli: Le curve limiti di una varietà data di curve. Atti della R. Accad. dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.Vol 18 No 3, S. 521–586 (1883–1884).
  • Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, ISBN 3-411-05121-3.
  • Harry Poppe: Compactness in General Function Spaces. Berlin 1974.