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Einheitskugel

Kugel mit Radius eins um den Nullpunkt eines Vektorraums
Einheitskugel (rot) und -sphäre (blau) für die euklidische Norm in zwei Dimensionen

Unter der Einheitskugel versteht man in der Mathematik die Kugel mit Radius eins um den Nullpunkt eines Vektorraums. Dabei wird ein verallgemeinerter Begriff des Abstands zugrunde gelegt, so dass je nach Zusammenhang die Einheitskugel keine Ähnlichkeit mehr mit einer herkömmlichen Kugel haben muss. Diese Einheitssphäre ist der Rand der Einheitskugel, im zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der euklidischen Norm ist dies der Einheitskreis.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Es sei   ein normierter Vektorraum. Dann nennt man die Menge der Punkte, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als eins ist, die offene Einheitskugel in  :

 

Entsprechend bezeichnet

 

die abgeschlossene Einheitskugel in   sowie

 

die Einheitssphäre in  .

Mittels Translation und Skalierung lassen sich in einem Raum beliebige Kugeln in die Einheitskugel überführen. Deshalb reicht es oft aus, bestimmte Aussagen nur für die Einheitskugel nachzuweisen, um die Gültigkeit für beliebige Kugeln zu folgern.

Einheitskugel in endlichdimensionalen RäumenBearbeiten

 
Einheitssphären im  

Im Falle des euklidischen Raumes   definiert man die abgeschlossene Einheitskugel bezüglich der euklidischen Norm   mittels  

Einheitskugeln können alternativ im   bezüglich anderer Normen definiert werden, beispielsweise der Summennorm (1-Norm)   oder der Maximumsnorm  . Die geometrische Gestalt der Einheitskugel hängt von der gewählten Norm ab und ist nur mit der euklidischen Norm tatsächlich kugelförmig.

VolumenBearbeiten

Das Volumen einer  -dimensionalen, euklidischen Einheitskugel ist

 

Hierbei ist   die Gammafunktion, eine analytische Fortsetzung der (verschobenen) Fakultät auf die reellen Zahlen. Für gerades   vereinfacht sich die Formel zu  .

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel in Abhängigkeit von der Raumdimension   bis   zunächst zunimmt, um dann wieder abzufallen – und sogar für   gegen 0 zu gehen:

Dimension Volumen der Einheitskugel Näherung
1 2 2,00
2   3,14
3   4,19
4   4,93
5   5,26
6   5,17
7   4,72
12   1,34
20   0,0258
25   0,00096

Die Einheitskugel bezüglich der Summennorm ist geometrisch ein Kreuzpolytop, ihr Volumen beträgt  .

Die Einheitskugel bezüglich der Maximumsnorm ist ein Hyperwürfel mit Kantenlänge 2, hat also das Volumen  .

BemerkungenBearbeiten

  • Die Einheitssphäre bildet den Rand der Einheitskugel. Entsprechend ist im zweidimensionalen die Einheitskugel nicht der Kreis, sondern die Kreisscheibe.
  • Allgemeiner kann eine Einheitskugel in jedem metrischen Raum definiert werden. Zu beachten ist, dass dort nicht von vornherein ein Punkt als Nullpunkt ausgezeichnet sein muss und man deswegen nur bedingt von der Einheitskugel eines metrischen Raumes sprechen kann. Weiterhin sind gerade bei Metriken, die nicht norminduziert sind, die Einheitskugeln noch weiter von der Anschauung entfernt. Speziell gilt in einem Vektorraum   mit der diskreten Metrik:  ,   und  .
  • Bei der Betrachtung von Umgebungen wird die Einheitskugel auch als 1-Kugel oder 1-Ball bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die abgeschlossene Einheitskugel   ist konvex. (Die Konvexität folgt aus der Dreiecksungleichung.)
  • Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung 0:  .
  • Umgekehrt wird in einem endlichdimensionalen Vektorraum durch jede abgeschlossene konvexe Menge  , die punktsymmetrisch zum Ursprung liegt und den Ursprung im Inneren enthält, eine Norm definiert, die diese Menge als Einheitskugel hat:  , für   (siehe Minkowski-Funktional).
  • Die abgeschlossene Einheitskugel   ist genau dann kompakt, wenn   endlichdimensional ist.
  • Die abgeschlossene Einheitskugel   ist genau dann schwach kompakt, wenn   reflexiv ist.
  • Die abgeschlossene Einheitskugel   im topologischen Dualraum   von   ist immer schwach-*-kompakt (Satz von Banach-Alaoglu).

Anwendungen in den NaturwissenschaftenBearbeiten

In vielfältiger Art wird die Einheitskugel in den Geowissenschaften angewandt, insbesondere für Berechnungen auf der Erdkugel. Sie erfolgen mit sogenannten Kugeldreiecken und den Formeln der Sphärischen Trigonometrie, wenn eine Genauigkeit von etwa 0,1 % genügt, zum Beispiel bei der Geografie und Kartografie, Globenberechnungen und Navigation. Die wahren Distanzen erhält man aus den Kugelbögen durch Multiplikation mit dem Erdradius.

Für höhere Genauigkeit – vor allem in der Geodäsie – ist statt der Erdkugel das Erdellipsoid zu verwenden. Mit der Methode der Verebnung sind aber Dreiecksberechnungen auch sphärisch möglich.

Geologen verwenden für Richtungsanalysen von Gesteinsschichten oder Klüften eine Einheitskugel, die sie Lagenkugel nennen. In sie werden die Normalenvektoren der jeweiligen Ebenen eingetragen und danach in flächentreuer Azimutalprojektion dargestellt.

Auch astronomische Berechnungen werden seit jeher auf der Einheitskugel um den Beobachter durchgeführt. Sie entspricht dem freiäugigen Anblick des Himmelsgewölbes und wird Himmelskugel genannt, auf der die sphärische Astronomie eigene Koordinatensysteme für Winkelmessungen und Sternörter definiert hat. Ob der Kugelradius mit 1 oder mit ∞ angenommen wird, ist dabei ohne Belang.

LiteraturBearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
  • Ivan Mueller: Spherical Astronomy as applied to Geodesy. Frederic Ungar Publ., New York 1969