Die Summennorm, Betragssummennorm oder 1-Norm ist in der Mathematik eine Vektornorm. Sie ist definiert als die Summe der Beträge der Vektorkomponenten und ist eine spezielle p-Norm für die Wahl von . Die Einheitssphäre der reellen Summennorm ist ein Kreuzpolytop mit minimalem Volumen über alle p-Normen. Daher ergibt die Summennorm für einen gegebenen Vektor den größten Wert aller p-Normen. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik ist die Manhattan-Metrik.

Summennorm in zwei Dimensionen

DefinitionBearbeiten

Ist   ein n-dimensionaler Vektor mit reellen oder komplexen Einträgen   für  , dann ist die Summennorm   des Vektors definiert als

 .

Die Summennorm entspricht damit der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors und wird daher auch etwas genauer Betragssummennorm genannt.[1] Sie ist eine spezielle p-Norm für die Wahl von   und heißt deswegen auch 1-Norm.

BeispieleBearbeiten

Reeller Vektor

Die Summennorm des reellen Vektors   ist gegeben als

 .

Komplexer Vektor

Die Summennorm des komplexen Vektors   ist gegeben als

 .

EigenschaftenBearbeiten

NormeigenschaftenBearbeiten

Die Summennorm erfüllt wie alle p-Normen die drei Normaxiome, die hier besonders leicht zu zeigen sind. Die Definitheit folgt aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Betragsfunktion durch

 ,

die absolute Homogenität folgt aus der Homogenität der Betragsnorm über

 

und die Subadditivität folgt direkt aus der Dreiecksungleichung für reelle oder komplexe Zahlen

 .

EinheitssphäreBearbeiten

 
Der Einheitssphäre der Summennorm ist in drei Dimensionen ein Oktaeder

Die Einheitssphäre der reellen Summennorm, also die Menge

 

hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops. Das Volumen der Einheitskugel der Summennorm ist dabei minimal über alle p-Normen; es beträgt  .

Vergleich mit den anderen p-NormenBearbeiten

Die Summennorm ist von allen p-Normen die größte, das heißt für einen gegebenen Vektor   und   gilt

 ,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn der Vektor der Nullvektor oder ein Vielfaches eines Einheitsvektors ist. Umgekehrt kann die Summennorm aufgrund der Äquivalenz von Normen in endlichdimensionalen Vektorräumen nach oben gegen jede p-Norm durch

 

abgeschätzt werden, wobei Gleichheit für einen konstanten Vektor gilt. Die Äquivalenzkonstante bezüglich der Maximumsnorm   ist dabei gleich  , was maximal zwischen allen p-Normen ist.

AnwendungenBearbeiten

Abgeleitete BegriffeBearbeiten

 
Die Manhattan-Metrik ist der Abstand zweier Punkte, wenn man sich nur auf einem Raster bewegen darf. Dieser Abstand ist unabhängig davon welchen Weg man einschlägt (hier 12).

Die Summennorm ist im Gegensatz zur euklidischen Norm (2-Norm) nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik ist die Manhattan-Metrik oder Taxi-Metrik

 .

Im reellen zweidimensionalen Raum misst sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Die von der Summennorm induzierte Matrixnorm ist die Spaltensummennorm.

Betrag von MultiindizesBearbeiten

Die Summennorm wird häufig als Betrag eines Multiindex   mit nichtnegativen Einträgen verwendet. Beispielsweise kann eine partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher   als

 

geschrieben werden, wobei dann   die Ordnung der Ableitung ist.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Die Summennorm kann auch auf unendlichdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verallgemeinert werden und hat dann eigene Namen.

1-NormBearbeiten

Die 1-Norm ist die Verallgemeinerung der Summennorm auf den Folgenraum   der betragsweise summierbaren Folgen  . Hierbei wird lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt und die 1-Norm ist dann gegeben als

 .

L1-NormBearbeiten

Weiter kann die Summennorm auf den Funktionenraum   der auf einer Menge   betragsweise integrierbaren Funktionen verallgemeinert werden, was in zwei Schritten geschieht. Zunächst wird die  -Norm einer betragsweise Lebesgue-integrierbaren Funktion   als

 ,

definiert, wobei im Vergleich zur 1-Norm lediglich die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Dies ist zunächst nur eine Halbnorm, da nicht nur die Nullfunktion, sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Lebesgue-Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen  , die fast überall gleich sind, und erhält auf diesem L1-Raum die L1-Norm durch

 .

LiteraturBearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
  • Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019540-8.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. S. 37.