Hauptmenü öffnen
Einheitskreise verschiedener p-Normen in zwei Dimensionen

Die p-Normen sind in der Mathematik eine Klasse von Vektornormen, die für reelle Zahlen definiert sind. Wichtige Spezialfälle sind dabei die Summennorm , die euklidische Norm und als Grenzwert für die Maximumsnorm. Alle -Normen sind zueinander äquivalent, für wachsendes monoton fallend und erfüllen die Minkowski-Ungleichung sowie die Hölder-Ungleichung. Die Mengen konstanter -Norm (Einheitssphären) besitzen allgemein die Form von Superellipsoiden oder Subellipsoiden. Die -Normen bilden den Grundbaustein für Normen weiterer mathematischer Objekte, wie Folgen, Funktionen, Matrizen und Operatoren.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die  -Norm eines reellen oder komplexen Vektors   mit   oder   ist für reelles   durch

 

definiert, wobei   der Betrag der Komponente   ist. Für die Definition ist es dabei unerheblich, ob es sich bei   um einen Zeilen- oder einen Spaltenvektor handelt. Im Fall   entsprechen alle  -Normen der Betragsnorm einer reellen oder komplexen Zahl.

Die Menge der Vektoren mit  -Norm eins wird Einheitssphäre der Norm genannt, wobei nur im Fall   die Einheitssphäre tatsächlich der aus der Geometrie bekannten Sphäre entspricht. Die Einheitssphären der  -Normen haben allgemein in zwei Dimensionen die Form von Superellipsen   oder Subellipsen   und in drei und höheren Dimensionen die Form von Superellipsoiden beziehungsweise Subellipsoiden.

Wichtige SpezialfälleBearbeiten

 
Die Einheitskreise der Summennorm, der euklidischen Norm und der Maximumsnorm in zwei Dimensionen

SummennormBearbeiten

Die 1-Norm wird auch Betragssummennorm oder kurz Summennorm genannt und ist durch

 

definiert. Sie entspricht der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops.

Euklidische NormBearbeiten

Die 2-Norm ist die euklidische Norm und durch

 

definiert. Sie entspricht der Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen euklidischen Norm hat in zwei Dimensionen die Form eines Kreises, in drei Dimensionen die Form einer Kugeloberfläche und in allgemeinen Dimensionen die Form einer Sphäre. In zwei und drei Dimensionen beschreibt die euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors in der Ebene oder im Raum.

MaximumsnormBearbeiten

Für den Grenzwert   erhält man die ∞-Norm (Unendlich-Norm), die oft auch zu den  -Normen gezählt wird. Sie wird auch Maximumsnorm oder Tschebyschow-Norm genannt und ist durch

 

definiert. Sie entspricht damit dem Betrag der betragsgrößten Komponente des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Maximumsnorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Würfels und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Hyperwürfels.

Dass die Maximumsnorm tatsächlich als Grenzwert der  -Normen für   entsteht, folgt für   aus

 ,

da für die Summe   gilt und somit der Grenzwert von   für   gleich Eins ist. Die untere Schranke von   wird dabei für einen Vektor angenommen, dessen Komponenten bis auf eine alle gleich Null sind, und die obere Schranke   für einen Vektor, dessen Komponenten alle den gleichen Betrag besitzen. Durch Weglassen des Limes ist so auch ersichtlich, dass die Maximumsnorm niemals größer als die übrigen  -Normen ist.

BeispieleBearbeiten

Reeller Vektor

Die 1-, 2-, 3- und ∞-Normen des reellen Vektors   sind jeweils gegeben als

 

Komplexer Vektor

Die 1-, 2-, 3- und ∞-Normen des komplexen Vektors   sind jeweils gegeben als

 

EigenschaftenBearbeiten

NormaxiomeBearbeiten

Alle  -Normen inklusive der Maximumsnorm erfüllen die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt aus der Positivität der Potenzfunktionen für positive Argumente und der Eindeutigkeit der Nullstelle an der Stelle  , womit

 

gilt. Die Homogenität folgt aus der Homogenität der Betragsnorm über

 .

Die Dreiecksungleichung für  -Normen ist gerade die Minkowski-Ungleichung

 ,

die wiederum auf der folgenden Hölder-Ungleichung basiert.

Hölder-UngleichungBearbeiten

Sind   zueinander konjugierte Exponenten, das heißt   mit der Konvention  , dann gilt für die entsprechenden  -Normen

 ,

was wiederum aus der Youngschen Ungleichung folgt. Für den Fall   entspricht die Hölder-Ungleichung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

MonotonieBearbeiten

Die  -Normen sind für einen festen Vektor   und für wachsendes   monoton fallend, das heißt für   gilt

 .

Diese Eigenschaft folgt für   und   aus der Monotonie der Potenzfunktionen   für   durch

 ,

da der Bruch jeweils nur einen Wert zwischen Null und Eins annehmen kann. Für einen gegebenen Vektor   ist damit die Summennorm die größte und die Maximumsnorm die kleinste  -Norm (siehe auch die obigen Beispiele). Gleichheit über alle  -Normen gilt genau dann, wenn der Vektor höchstens eine Komponente ungleich Null besitzt, also beispielsweise der Nullvektor oder der  -te Einheitsvektor ist. Gleichbedeutend mit der Monotonie ist, dass sich die Einheitskugeln der  -Normen für wachsendes   gegenseitig enthalten, das heißt für   gilt

 .

ÄquivalenzBearbeiten

Alle  -Normen sind zueinander äquivalent, das heißt zu einem beliebigen Paar von  -Normen   mit   gibt es zwei positive Konstanten   und  , sodass für alle  

 

gilt. Die untere Konstante   ist aufgrund der Monotonie immer gleich Eins. Die obere Konstante   hängt von den gewählten Normen ab und wird für einen Vektor mit betragsmäßig gleichen Komponenten (etwa den Einsvektor) angenommen. Die Hölder-Ungleichung ergibt nämlich bei Wahl der Hölder-Exponenten   und   für  

 .

Mit der Konvention   im Exponenten bleibt diese Abschätzung auch für   oder   gültig. Die Äquivalenzkonstante   der  -Normen ist für   in der folgenden Tabelle noch einmal zusammengefasst dargestellt:

 -Norm  -Norm  -Norm
 -Norm      
 -Norm      
 -Norm      

Hierbei ist beispielsweise der Eintrag in der ersten Zeile und zweiten Spalte für   als

 

zu lesen. Die  -Normen unterscheiden sich für einen festen Vektor   somit maximal um den Faktor  . Die optimalen Konstanten in solchen Normabschätzungen führen zur Berechnung von Abständen im Minkowski-Kompaktum.

AbsolutheitBearbeiten

Alle  -Normen inklusive der Maximumsnorm sind absolut, das heißt, für alle Vektoren   gilt

 ,

wobei   den komponentenweisen Betrag eines Vektors darstellt.

Komponentenweise MonotonieBearbeiten

Aufgrund der Absolutheit sind die  -Normen für festes   mit   im Betrag jeder Komponente eines Vektors   monoton wachsend, das heißt, es gilt

 

für alle   mit   für  .[1] Für   gilt sogar strenge Monotonie

 

für alle   mit   für   und   für mindestens ein  .[2]

VerallgemeinerungenBearbeiten

Fall p < 1Bearbeiten

 
Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist in zwei Dimensionen eine Astroide.

Die für   definierte Abbildung

 

ist keine Norm, da die resultierende Einheitskugel nicht mehr konvex ist und somit die Dreiecksungleichung verletzt wird. Diese Abbildungen sind lediglich Quasinormen, wobei die Dreiecksungleichung durch die schwächere Ungleichung   für eine reelle Konstante   ersetzt wird.

p-NormenBearbeiten

Die  -Normen sind die Verallgemeinerung der  -Normen auf Folgenräume, wobei lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt wird. Die  -Norm einer in  -ter Potenz betragsweise summierbaren Folge   ist dann für   gegeben als

 .

Für den Grenzwert   ergibt sich der Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm.

Lp-NormenBearbeiten

Weiter können die  -Normen auf Funktionenräume verallgemeinert werden, was in zwei Schritten geschieht. Zunächst werden die  -Normen einer in  -ter Potenz auf einer Menge   Lebesgue-integrierbaren Funktion   sind für   als

 ,

definiert, wobei im Vergleich zu den  -Normen lediglich die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Diese Normen sind zunächst nur Halbnormen, da nicht nur die Nullfunktion, sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Lebesgue-Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man hier die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen  , die fast überall gleich sind, und erhält auf diesen  -Räumen die  -Normen durch

 .

Für den Grenzwert   ergibt sich so der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen mit der wesentlichen Supremumsnorm. Die  -Normen und -Räume lassen sich von dem Lebesgue-Maß auch auf allgemeine Maße verallgemeinern und von reell- oder komplexwertigen Funktionen auf Banachraum-wertige Funktionen, indem der Betrag durch die entsprechende Norm ersetzt wird.

MatrixnormenBearbeiten

Indem eine Matrix   einfach als entsprechend langer Vektor aus   angesehen wird, können Matrixnormen direkt über die  -Normen definiert werden. Beispiele für solche Matrixnormen sind die auf der 2-Norm basierende Frobeniusnorm und die auf der ∞-Norm basierende Gesamtnorm. Matrixnormen werden jedoch meist von einer  -Norm als induzierte Matrixnorm

 .

abgeleitet. Beispiele für so definierte Matrixnormen sind die auf der 1-Norm basierende Spaltensummennorm, die auf der 2-Norm basierende Spektralnorm und die auf der ∞-Norm basierende Zeilensummennorm. Eine weitere Möglichkeit Matrixnormen zu definieren besteht darin, die  -Norm des Vektors der Singulärwerte der Matrix zu betrachten, wie dies bei den Schatten- -Normen der Fall ist. Auf analoge Art und Weise können auch Normen für allgemeinere lineare Operatoren definiert werden.

LiteraturBearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
  • Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9.
  • Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6.
  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Friedrich L. Bauer, Josef Stoer, Christoph Witzgall: Absolute and monotonic norms. In: Numerische Mathematik. Band 3, Nr. 1, 1961, S. 257–264.
  2. Matthias Ehrgott: Multicriteria Optimization. 2. Auflage. Springer, 2005, S. 111–113.