In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem Multiindex zusammen. Verallgemeinert man Formeln von einer Veränderlichen auf mehrere Veränderliche, zum Beispiel von Potenzreihen in einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Formal gesehen ist ein Multiindex ein Tupel natürlicher Zahlen.

Konventionen der Multiindex-SchreibweiseBearbeiten

In diesem Abschnitt seien   jeweils  -Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:

 

wobei   und   einen Differentialoperator bezeichnet.

AnwendungsbeispieleBearbeiten

PotenzreiheBearbeiten

Eine Mehrfachpotenzreihe   lässt sich kurz schreiben als  .

PotenzfunktionBearbeiten

Ist   und sind  , so gilt   und  .

Geometrische ReiheBearbeiten

Für   gilt  , wobei   ist.

Binomischer LehrsatzBearbeiten

Sind   und ist  , so gilt   bzw.  .

MultinomialtheoremBearbeiten

Für   und   ist   bzw.  , was sich kurz schreiben lässt als  .

Leibniz-RegelBearbeiten

Ist   und sind   m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

 

beziehungsweise

 .

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Und sind   m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist

 ,

wobei   ist.

Cauchy-ProduktBearbeiten

Für Mehrfachpotenzreihen   gilt  .

Sind   Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt  , wobei   ist.

ExponentialreiheBearbeiten

Für   gilt  .

Binomische ReiheBearbeiten

Sind   und sind alle Komponenten von   betragsmäßig  , so gilt  .

Vandermondesche KonvolutionBearbeiten

Ist   und sind  , so gilt  .

Ist   und  , so gilt  .

Cauchysche IntegralformelBearbeiten

In mehreren Veränderlichen   lässt sich die cauchysche Integralformel

 

kurz schreiben als

 ,

wobei   sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung  , wobei   ist.

Taylor-ReiheBearbeiten

Ist   eine analytische Funktion oder   eine holomorphe Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe

 

entwickeln, wobei   ein Multiindex ist.

Hurwitz-IdentitätBearbeiten

Für   mit   und   gilt  .

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität  .

Letztere erhält man im Fall  .

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.