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Die Produktregel oder Leibnizregel (nach G. W. Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurück.

Eine Anwendung der Produktregel in der Integralrechnung ist die Methode der partiellen Integration. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Inhaltsverzeichnis

Aussage der ProduktregelBearbeiten

Sind die Funktionen   und   von einem Intervall   in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle   differenzierbar, so ist auch die durch

  für alle  

definierte Funktion   an der Stelle   differenzierbar, und es gilt

 

oder kurz:

 

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Im Folgenden sei stets  

  • Ist   und   so erhält man aus der Kenntnis von   und   mit der Produktregel die Aussage
 
  • Ist   und   so ist   also ist
 
und durch Umformen erhält man die Aussage
 

Verwendet man die Kurznotation   so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion

 

Ausmultipliziert ergibt sich  

Erklärung und BeweisBearbeiten

 
Geometrische Veranschaulichung des Beweises der Produktregel

Das Produkt   zweier reeller (an einer Stelle   differenzierbarer) Funktionen   und   hat an der Stelle   den Wert   der als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten   und   gedeutet werden kann. Ändert sich nun   um   so ändert sich   um   und   um   Die Änderung   des Flächeninhalts   setzt sich dann (siehe Abbildung) zusammen aus

 

Dividiert man durch   so ergibt sich mit

 

der Differenzenquotient der Produkt- oder Flächeninhaltsfunktion   an der Stelle  

Für   gegen   strebt auch   (und damit der ganze letzte Summand) gegen   sodass man an der Stelle  

 

erhält, wie behauptet. Dies ist auch im Wesentlichen die Argumentation, wie sie sich in einem ersten Beweis der Produktregel 1677 in einem Manuskript von Leibniz findet. Die Produktregel, die er dort gemeinsam mit der Quotientenregel beweist, war damit eine der ersten Regeln zur Anwendung der Infinitesimalrechnung, die er herleitete. Er benutzte allerdings keinen Grenzwert, sondern noch Differentiale und schloss, dass   wegfällt, weil es im Vergleich zu den anderen Summanden infinitesimal klein sei. Euler benutzte noch dasselbe Argument, erst bei Cauchy findet sich ein Beweis mit Grenzwerten:

Gegeben sei die Funktion   durch   Die Ableitung von   an einer Stelle   ist dann durch den Grenzwert des Differenzenquotienten

 

gegeben. Addition und Subtraktion des Terms   liefert

 

Das Ausführen der beiden Grenzübergänge liefert die Produktregel  

VerallgemeinerungenBearbeiten

Produkte von Vektoren und Matrix-Vektor-ProdukteBearbeiten

Beim Beweis der Produktregel werden aus den Werten von   Linearkombinationen (Summen, Differenzen, Produkte mit Zahlen) gebildet, ebenso aus den Werten von   Die Rollen von   und   sind dabei klar getrennt:   ist der linke Faktor,   der rechte. Der Beweis überträgt sich deswegen auf alle Produktbildungen, die sowohl im linken als auch im rechten Faktor linear sind. Insbesondere gilt die Produktregel auch für

Vektoren bzw. Matrizen sind dabei als Funktionen einer unabhängigen Variablen zu verstehen.

Mehr als zwei FaktorenBearbeiten

Die Produktregel kann sukzessive auch auf mehrere Faktoren angewandt werden. So wäre

  und
  usw.

Allgemein ist für eine Funktion   die sich als Produkt von   Funktionen   schreiben lässt, die Ableitung

 

Haben die Funktionen keine Nullstellen, so kann man diese Regel auch in der übersichtlichen Form

    (oder kurz:  )

schreiben; derartige Brüche bezeichnet man als logarithmische Ableitungen.

Höhere Ableitungen Bearbeiten

Auch die Regel für Ableitungen  -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei Funktionen war schon Leibniz bekannt und wird entsprechend manchmal ebenfalls als Leibnizsche Regel bezeichnet. Sie ergibt sich aus der Produktregel mittels vollständiger Induktion zu

 

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form   sind Binomialkoeffizienten. Die obige Formel enthält die eigentliche Produktregel als Spezialfall. Sie hat auffallende Ähnlichkeit zum binomischen Lehrsatz

 

Diese Ähnlichkeit ist kein Zufall, der übliche Induktionsbeweis läuft in beiden Fällen vollkommen analog; man kann die Leibnizregel aber auch mit Hilfe des binomischen Satzes beweisen.

Für höhere Ableitungen von mehr als zwei Faktoren lässt sich ganz entsprechend das Multinomialtheorem übertragen. Es gilt:

 

Höherdimensionaler DefinitionsbereichBearbeiten

Verallgemeinert man auf Funktionen mit höherdimensionalem Definitionsbereich, so lässt sich die Produktregel wie folgt formulieren: Es seien   eine offene Teilmenge,   differenzierbare Funktionen und   ein Richtungsvektor. Dann gilt die Produktregel für die Richtungsableitung:

 

Entsprechend gilt für die Gradienten

 

In der Sprache der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten lauten diese beiden Aussagen:

  • Sind   ein Tangentialvektor und   lokal differenzierbare Funktionen, dann gilt
 
  • Sind   lokal differenzierbare Funktionen, so gilt die folgende Beziehung zwischen den äußeren Ableitungen:
 

Höhere partielle AbleitungenBearbeiten

Sei   Dann gilt:[1]

 

Holomorphe FunktionenBearbeiten

Die Produktregel gilt auch für komplex differenzierbare Funktionen: Es sei   und   holomorph. Dann ist   holomorph, und es gilt

 

Allgemeine differenzierbare AbbildungenBearbeiten

Es seien   ein offenes Intervall,   eine Banachalgebra (z. B. die Algebra der reellen oder komplexen  -Matrizen) und   differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

 

Dabei bezeichnet »·« die Multiplikation in der Banachalgebra.

Sind allgemeiner   und   Banachräume,   und   differenzierbare Funktionen, so gilt ebenfalls eine Produktregel, wobei die Funktion des Produktes von einer Bilinearform   übernommen wird. Von dieser wird verlangt, dass sie stetig ist, also beschränkt:

  für alle  

mit einer festen Konstante  . Dann gilt die Produktregel

 

Entsprechende Aussagen gelten für höherdimensionale Definitionsbereiche.

Leibniz-Regel für dividierte DifferenzenBearbeiten

Die Leibnizregel lässt sich auf dividierte Differenzen übertragen:[2]

 

Der Spezialfall

 

schließt die originale Leibnizregel mit ein.

Abstraktion: DerivationenBearbeiten

Allgemein nennt man Abbildungen   welche die Produktregel

 

erfüllen, Derivationen. Die Reihenfolge der Faktoren ist hier für den Fall einer Derivation   mit einer Algebra   und einem  -Linksmodul   gewählt.

Im Zusammenhang mit  - oder  -graduierten Algebren („Superalgebren“) muss der Begriff der Derivation jedoch durch den der Antiderivation ersetzt werden. Die entsprechende Gleichung lautet dann

 

für homogene Elemente   Dabei bezeichnet   den Grad von   Das prominenteste Beispiel einer Antiderivation ist die äußere Ableitung für Differentialformen

 

LiteraturBearbeiten

Die Produktregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
  • Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
  • Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bde. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
  • C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus. Springer, New York 1979.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. ISBN 0-8218-0772-2, 19. Auflage, S. 12.
  2. De Boor: Divided Differences. Surveys in Approximation Theory. Band 1, 2005, S. 46–69.
  Dieser Artikel wurde am 26. September 2006 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.