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Graphen einiger Potenzfunktionen

Als Potenzfunktionen bezeichnet man elementare mathematische Funktionen der Form

Wenn man nur natürliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens :

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm ein Monom.

SpezialfälleBearbeiten

  • konstante Funktion:   (für  )
  • (homogene) lineare Funktion/Proportionalität:   (für  )
  • Quadratfunktion und Vielfache davon:   (für  )
  • Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten   werden die ganzrationalen Funktionen zusammengesetzt, aus denen mit ganzzahligem Exponenten die rationalen Funktionen.
  • Für   mit   ergeben sich Wurzelfunktionen.

Definitions- und WertemengeBearbeiten

Die maximal mögliche Definitionsmenge hängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden:

r > 0 r < 0
     
     

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das Vorzeichen von   beachten; wenn   ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob   eine gerade oder ungerade Zahl ist:

r > 0 r < 0
r gerade
oder  
r ungerade r gerade
oder  
r ungerade
a > 0        
a < 0        

GraphenBearbeiten

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen   heißen Parabeln  -ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen   Hyperbeln  -ter Ordnung. Der Parameter   drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der  -Achse um den Faktor   und außerdem Spiegelung an der  -Achse aus, falls   ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge  , dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

SymmetrieBearbeiten

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit   sind symmetrisch; genauer: sie sind gerade für gerade   und ungerade für ungerade  . Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur  -Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten für x → ±∞ und x → 0Bearbeiten

Alle Potenzfunktionen   mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei  , steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion  ) und gehen gegen   für  . Für   ergibt sich das Verhalten für   aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen   mit negativen Exponenten gehen gegen   für  . Sie fallen und gehen gegen   für  .

Stetigkeit, Ableitung und IntegrationBearbeiten

Jede Potenzfunktion   ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige Ableitungsfunktion ist (siehe Potenzregel)

 

Diese Formel gilt für alle   und alle  , wenn   nur an der Stelle   definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle  , wenn   ist. Für   ist die Funktion   stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle  .

Zum Beispiel ist   gültig in ganz   (bzw. sogar in ganz  , wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt – siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl   ist die Formel

 

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig. Für   gilt

 

Zum Beispiel gilt:

 .

Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen ZahlenBearbeiten

In diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet, bei denen der Nenner des gekürzten Exponenten ungerade ist, und es wird erklärt, wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden wird dann erläutert, welche der oben erwähnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geändert werden.

Ungerade Wurzeln aus negativen ZahlenBearbeiten

(→ Siehe auch Potenz)

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades   und beliebiges   definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:

  ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl  , für die   gilt.

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung   gegeben durch   (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen   schreiben müsste).

Definitions- und WertemengeBearbeiten

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun den Definitionsbereich auf negative   erweitern : Sei   mit  ,  ,   dabei ungerade, und seien   und   teilerfremd, dann gilt:

    (oder, was äquivalent ist,    ).

(Anmerkung: Ist  , dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für   ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich  , für   ist sie gleich  .

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von   beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen   oder   gerade ist (d. h. das Produkt   gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d. h. das Produkt   ungerade ist):

n > 0 n < 0
  gerade   ungerade   gerade   ungerade
a > 0        
a < 0        

Symmetrie und Verhalten für x → ±∞ und x → 0Bearbeiten

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade   und ungerade für ungerade  . Ihr Verhalten für   und für   ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

AnwendungenBearbeiten

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten