Cauchysche Integralformel

mathematischer Satz

Die cauchysche Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.

Cauchysche Integralformel für KreisscheibenBearbeiten

AussageBearbeiten

Ist   offen,   holomorph,   ein Punkt in   und   eine relativ kompakte Kreisscheibe in  , dann gilt für alle  , also für alle   mit  :

 

Dabei ist   die positiv orientierte Kurve   für   über den Rand von  .

BeweisBearbeiten

Für festes   sei die Funktion   definiert durch   für   und   für  .   ist stetig auf   und holomorph auf  . Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

 .

Die Funktion  ,   ist holomorph mit der Ableitung  , welche verschwindet, da der Integrand eine Stammfunktion (nämlich  ) hat. Also ist   konstant, und wegen   ist  .

FolgerungenBearbeiten

Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei  .

 

Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für   und  :

 

Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für  .

 

Mit der Integralformel für   folgt sofort, dass die Koeffizienten   genau die Taylor-Koeffizienten sind. Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn   für   gilt:

 

Der Satz von Liouville (jede auf ganz   holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom zerfällt in   in Linearfaktoren) beweisen.

BeweiseBearbeiten

Die Cauchysche Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:

 

Entwicklung von   in der Cauchyschen Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt

 

Da für   die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d. h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:

 

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein   mit   für  ; dann gilt für  :

 

Ist   auf ganz   holomorph und beschränkt, also   für alle  , dann gilt wie vorher für alle  :

 

Da   beliebig war, gilt dann   für alle  . Somit folgt aus der Beschränktheit von  :

 

Das heißt jede beschränkte auf ganz   holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).

BeispielBearbeiten

Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:

 

Cauchysche Integralformel für PolyzylinderBearbeiten

Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum   verallgemeinert. Seien   Kreisscheiben in  , dann ist   ein Polyzylinder in  . Sei   eine holomorphe Funktion und   Dann ist die cauchysche Integralformel durch

 

erklärt. Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu

 ,

mit   verkürzt werden. Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel

 

für die Ableitungen der holomorphen Funktion   als auch die cauchysche Ungleichung

 

wobei   und   der Radius des Polyzylinders   ist.[1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.

Cauchysche Integralformel für ZyklenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:

Ist   ein Gebiet,   holomorph und   ein nullhomologer Zyklus in  , dann gilt für alle  , die nicht auf   liegen, folgende Integralformel:

 

Dabei bezeichnet   die Umlaufzahl von   um  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

LiteraturBearbeiten

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).