Hauptmenü öffnen

Satz von Liouville (Funktionentheorie)

mathematischer Satz in der Funktionentheorie

Der Satz von Liouville ist ein grundlegendes Ergebnis im mathematischen Teilgebiet Funktionentheorie. Er ist benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.

AussageBearbeiten

Sei   eine beschränkte, ganze Funktion, d. h.   ist holomorph auf ganz   und es gibt eine Konstante   mit   für alle  . Dann ist   konstant.

BeweisBearbeiten

Die Behauptung folgt direkt aus der Integralformel von Cauchy, vgl. auch die Darstellung des Streits zwischen Cauchy und Liouville.

Sei   durch   beschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für Kurvenintegrale

 .

Daher ist die Ableitung gleich 0. Da   außerdem zusammenhängend ist, folgt die Behauptung.

Bedeutung und VerallgemeinerungenBearbeiten

Der Satz von Liouville liefert einen besonders eleganten Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra.

Als Folgerung erhält man sofort, dass   dicht in   ist, wenn   holomorph und nicht konstant ist. Eine Verschärfung dieser Tatsache ist der kleine Satz von Picard.

In der Sprache der Riemannschen Flächen bedeutet der Satz von Liouville, dass jede holomorphe Funktion von einer parabolischen Riemannschen Fläche (z. B. die komplexe Ebene  ) auf eine hyperbolische Riemannsche Fläche (z. B. die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene) konstant sein muss.

Der sogenannte verallgemeinerte Satz von Liouville besagt:

Ist   holomorph und gibt es reelle Zahlen   so, dass für alle  

 

gilt, so ist   ein Polynom mit  .

Ist  , also   beschränkt, so erhält man den "alten" Satz von Liouville, da Polynome vom Grad kleiner gleich 0 konstant sind.

LiteraturBearbeiten