Fundamentalsatz der Algebra

mathematischer Satz

Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen.

Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom an, so folgt, dass die im Bereich der reellen Zahlen unlösbare Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss.

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind.

Die Namensgebung wurzelt in einem traditionellen Verständnis der Algebra als der Lehre von Gleichungen höheren Grades mittels „Buchstabenrechnen“.[1]

SatzBearbeiten

Es sei

 

ein Polynom vom Grad   – also ein nicht konstantes Polynom – mit komplexen Koeffizienten  . Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d. h., es gibt eine Zahl  , so dass   gilt. Genauer gilt insbesondere, dass die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.

Anmerkung zum Fall reeller KoeffizientenBearbeiten

Auch wenn   ein Polynom über den reellen Zahlen ist, wenn also alle Koeffizienten   in   liegen, sind die zugehörigen Nullstellen nicht notwendigerweise reell. Es gilt aber: Ist   eine nichtreelle Nullstelle von  , so ist auch ihr komplex Konjugiertes   eine Nullstelle von  . Ist   eine mehrfache Nullstelle von  , so hat   dieselbe Vielfachheit. In der faktorisierten Schreibweise des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor   zusammenfassen. Ausmultipliziert hat dieses Polynom zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten:

 

Daraus folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert, die dieses Ergebnis bereits in ihrem lateinischen Titel Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse verkündet (deutsch: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale algebraische Funktion in einer Variablen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades zerlegt werden kann.)

Folgerung: Algebraische Abgeschlossenheit des komplexen ZahlkörpersBearbeiten

Von einem Polynom   lässt sich der zu einer Nullstelle   mit   gehörende Linearfaktor   abspalten:  . (Dazu kann beispielsweise die Horner-Ruffini-Methode verwendet werden.) Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um eins reduziertes Polynom  , für welches das Verfahren wiederholen werden kann. Per Induktion ist hiermit gezeigt: Jedes nicht konstante Polynom über   zerfällt vollständig in ein Produkt aus Linearfaktoren:

  ,

wobei die   die Nullstellen des Polynoms sind.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt also, dass der Körper   der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

BeispielBearbeiten

Die Polynomgleichung

 

hat die Lösungen

  ,

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, wie anhand der Faktorisierung des Polynoms ersichtlich ist:

  .

Man verwendet auch die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf“, alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten aber immer paarweise komplex konjugiert auf (in obigem Beispiel  ).

BeweiseBearbeiten

Geschichte und ÜberblickBearbeiten

Erste Formulierungen des Fundamentalsatzes finden sich im 17. Jahrhundert (Peter Roth, Albert Girard, René Descartes). Peter Roth (1608) vermutete, dass Gleichungen  -ten Grades höchstens   Lösungen haben, und Francois Viète gab Beispiele von Gleichungen  -ten Grades mit der maximalen Anzahl von   Lösungen an. Albert Girard vermutete 1629 (L'invention en l'algèbre) als Erster, dass es immer   Lösungen gibt, und vermutete schon neben reellen auch komplexe Lösungen. Leonhard Euler gab eine Formulierung des Fundamentalsatzes als vollständige Faktorisierung im Komplexen im heutigen Sinn an. Der erste veröffentlichte Beweis von Jean d’Alembert 1746 war von der Idee her korrekt, jedoch enthielt er Lücken, die erst mit den Methoden der Analysis des 19. Jahrhunderts geschlossen werden konnten. Eine vereinfachte und auch nach modernen Kriterien noch korrekte Version dieses Beweises wurde von Jean-Robert Argand 1806 angegeben. Weitere veröffentlichte Beweisversuche stammen von Euler (1749), Joseph-Louis Lagrange (1772), aufbauend auf dem Beweis von Euler, und Pierre Simon de Laplace (1795), der einen neuen Ansatz verfolgte unter Verwendung der Diskriminante des Polynoms.

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben (und eine Notiz dazu in seinem Tagebuch schon im Oktober 1797 eingetragen). Im Gegensatz zu seinen Vorgängern ging Gauß auch das Problem an, die Existenz der Wurzeln im Komplexen zu beweisen, und nicht stillschweigend vorauszusetzen. Auch dieser Beweis enthält einige analytische Schwächen, die erst später beseitigt werden konnten. Der zweite Beweis, der von Gauß 1815 vorgestellt, und ein Jahr später publiziert wurde, baut auf Ideen von Leonhard Euler auf. Dieser Beweis benutzt als analytische Grundlage, unbewiesen und ohne dass eine Beweisnotwendigkeit gesehen wurde, lediglich den Zwischenwertsatz der reellen Analysis, genauer den Spezialfall, dass jedes Polynom ungeraden Grades immer eine reelle Nullstelle hat.

Ein Beweis, der gleichzeitig ein effizientes Berechnungsverfahren beinhaltet, wurde 1859 (und nochmals 1891) von Karl Weierstraß veröffentlicht. Das darin enthaltene Verfahren wird heute als Durand-Kerner-Verfahren bezeichnet.

Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten. Am kürzesten kann der Fundamentalsatz der Algebra nach Augustin-Louis Cauchy und Joseph Liouville mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden. Eine annähernd direkte Plausibilität vermittelt die topologische Argumentation auf Basis der Umlaufzahl. Relativ elementar ist der analytische Beweis.

Im Folgenden sei   stets ein nichtkonstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten und insbesondere  . Dieses sei als Funktion   aufgefasst.

Rein analytischer BeweisBearbeiten

Dieser Beweis[2] wurde 1746 von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert vorgeschlagen, jedoch erst 1806 von Jean-Robert Argand vervollständigt. Die zentrale Aussage dieses Beweises ist, dass zu jedem Punkt  , der keine Nullstelle ist, ein Punkt   in der Umgebung angegeben werden kann, der eine Verkleinerung im Betrag des Funktionswerts ergibt,  . Hat der Betrag der Funktionswerte also einen Minimalpunkt, so muss dieser ein Nullpunkt sein. Da die Menge   kompakt ist, und der Betrag verknüpft mit   stetig, gibt es immer einen solchen Minimalpunkt und damit eine Nullstelle.[Anm 1]

Zur zentralen Aussage entwickle man   in  , d. h.,

 .

Ist  , so ist   eine Nullstelle. Sonst wähle man das kleinste   mit   und betrachte die beiden Ungleichungen für  

  und  .

Beide Ungleichungen sind für   erfüllt, und es gibt ein endliches, größtes  , so dass sie auf dem gesamten Intervall   erfüllt sind. Für ein   aus diesem Intervall wähle man ein   mit   und so, dass mit einem reellen Faktor   die Beziehung   gilt. Für den interessierenden Betrag des Funktionswertes gilt nun nach Dreiecksungleichung

  .

Beweis mit Methoden der TopologieBearbeiten

Ein Beweis mit dieser Methode wurde 1799 von Gauß gegeben. Er zerlegte die Polynomfunktion in Real- und Imaginärteil,  . Die Nullstellenmengen von   und   sind aus einzelnen eindimensionalen Bögen zusammengesetzt, die eine endliche Anzahl von Knotenpunkten in der Ebene verbinden. Von jedem Knotenpunkt geht eine gerade Anzahl von Bögen aus. Auf keinen Fall kann ein Bogen in einem Punkt einfach enden. Auf jedem Kreis mit genügend großem Radius gibt es   Nullstellen von   und   Nullstellen von  , die sich abwechseln. Jeder zusammenhängende Teil des Nullstellengraphen von   hat auf einem großen Kreis eine gerade Anzahl von Schnittstellen, die eine ungerade Anzahl von Schnittstellen des Nullstellengraphen von   einschließen. Damit muss ein Bogen des Graphen von   aus dem zusammenhängenden Teilstück des Graphen von   herausragen. Dies geht nur, wenn die Graphen von   und   sich schneiden, der Schnittpunkt aber ist eine Nullstelle von  .

 
Zum Polynom   ist das Bild des Kreises mit Radius 10 um den Ur­sprung dargestellt. Bei großen Kreisen ist die dreifache Um­run­dung des Ursprungs für alle kubischen Poly­nome mittels Betrags­abschätzung elemen­tar nach­weis­bar. Wird der Kreis bis zum Nullpunkt ver­klei­nert, zieht sich das Bild auf einen Punkt zu­sam­men, ent­sprechend dem kon­stanten Term  .

Moderne Versionen dieses Beweises benutzen den Begriff der Windungszahl. Die darauf aufbauende Argumentation liefert zugleich eine direkte Plausibilität für die Richtigkeit des Fundamentalsatzes der Algebra. Siehe dazu auch die Abbildung.

Für den Beweis wird angenommen, dass das Polynom   keine komplexen Nullstellen besitze. Dann kann für jedes   eine geschlossene, stetige Kurve

 ,  

konstruiert werden, die die (skalierten) Funktionswerte des Polynoms auf dem Kreis mit Radius   durchläuft. Da kein Funktionswert Null ist, kann eine Umlaufzahl definiert werden. Da sich die Kurve bei Änderung des Parameters   stetig ändert, kann sich die Umlaufzahl nur ändern, wenn die sich ändernde Kurve den Nullpunkt überquert. Da nach Annahme die Funktion   keine Nullstelle besitzt, ist eine solche Überquerung des Nullpunktes nicht möglich. Daher muss die Umlaufzahl für alle   dieselbe sein.

Für sehr große Werte von   wird die Kurve der entsprechenden Kurve der  -ten Potenz, genauer des Polynoms  , immer ähnlicher, die Umlaufzahl muss daher konstant   sein. Für sehr kleine Werte von   wird die Kurve der konstanten Kurve mit Wert   immer ähnlicher, also muss die – für alle   konstante – Umlaufzahl gleichzeitig den Wert 0 besitzen. Dies ist gleichzeitig nur möglich, wenn   gilt, das Polynom also konstant ist. Für Polynome höheren Grades führt dieses Argument zum Widerspruch, also muss es Nullstellen   mit   geben.

Beweis mit dem Zwischenwertsatz und algebraischen MethodenBearbeiten

Ein solcher Beweis wurde 1815 von Gauß präsentiert. Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat, sowie dass quadratische Gleichungen, auch mit komplexen Koeffizienten, elementar lösbar sind. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz des Faktors   im Grad des Polynoms.

Es sei zunächst   quadratfrei und mit reellen Koeffizienten vorausgesetzt. Der Grad habe eine Faktorisierung   mit   ungerade. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz   des Faktors   im Grad des Polynoms. Ist  , so gibt es eine Nullstelle nach dem Zwischenwertsatz. Es sei nun im Induktionsschritt vorausgesetzt, dass alle Polynome mit Graden   mit   ungerade mindestens eine Nullstelle besitzen.

Es sei, der Einfachheit halber, ein (abstrakter) Zerfällungskörper   des Polynoms   konstruiert, in welchem es die paarweise verschiedenen (wiederum abstrakten) Nullstellen   hat,

 .

In   sei die Menge der   Punkte  ,  , betrachtet. Da die abstrakten Nullstellen paarweise verschieden sind, gibt es nur eine endliche Anzahl von Geraden, die durch mindestens zwei dieser Punkte verlaufen, insbesondere auch nur eine endliche Anzahl reeller Anstiege   solcher Geraden, für welche die Differenz   zweimal denselben Wert annimmt. Für alle anderen Werte von   ist das Polynom

 

ebenfalls quadratfrei und symmetrisch in den abstrakten Nullstellen  . Daher können die Koeffizienten von   als Polynome in   und den Koeffizienten von   dargestellt werden,   ist also für jedes reelle   ein Polynom mit reellen Koeffizienten und kann mittels Resultanten aus   bestimmt werden. Der Grad von   beträgt  , wobei   eine ungerade Zahl ist. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es wenigstens eine komplexe Nullstelle   mit  . Aus den partiellen Ableitungen nach   und   in der Nullstelle können komplexe Zahlen   und   bestimmt werden, so dass mindestens eine der Nullstellen von   eine Nullstelle von   ist.

Hat   auch echt komplexe Koeffizienten, so hat   nur reelle Koeffizienten. Jede Nullstelle des Produkts ist Nullstelle eines Faktors, somit also selbst oder als komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle von  . Ist das nun reelle Polynom nicht quadratfrei, so kann mit Polynomarithmetik (u. a. euklidischer Algorithmus) eine Faktorisierung in (nichtkonstante) quadratfreie Faktoren gefunden werden, von denen jeder mindestens eine Nullstelle enthält.

Beweis mit Methoden der FunktionentheorieBearbeiten

Beweis mit dem Satz von LiouvilleBearbeiten

Wegen   existiert ein  , so dass   für alle   mit   gilt. Weil sowohl   und damit auch der Betrag   stetig sind, als auch die Kreisscheibe   kompakt ist, existiert nach dem Satz von Weierstrass eine Stelle   mit minimalem Betrag des Funktionswertes,   für alle  . Nach Konstruktion ist   sogar ein globales Minimum. Wäre   positiv, so wäre die reziproke Funktion   holomorph auf   und durch   beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant. Somit wäre auch   konstant, was der Voraussetzung widerspricht. Da   folgt  , also existiert eine Nullstelle (in  ).

Beweis direkt mittels des Cauchyschen IntegralsatzesBearbeiten

Der Fundamentalsatz der Algebra ist mit Hilfe elementarer Abschätzungen sogar direkt aus dem Cauchyschen Integralsatz ableitbar, und zwar wie folgt:[3]

Das Polynom   lässt sich in der Form   darstellen, wobei   ein weiteres Polynom ist.

Nimmt man nun an,   sei ohne Nullstelle, so lässt sich für   stets schreiben:

 .

Nun bildet man für jedes   das Wegintegral der auf   gebildeten Kehrwertfunktion   über den Kreislinienweg   und erhält:

 .

Aufgrund der angenommenen Nullstellenfreiheit von   ist

 

holomorph, womit sich infolge des Cauchyschen Integralsatzes weiter ergibt:

 

und daraus:

   .

Dies gilt für jedes beliebige  .

Nun ist jedoch   und damit folgt aus der letzten Ungleichung unmittelbar:

 ,

was sicher falsch ist.

Damit ist die angenommene Nullstellenfreiheit von   zum Widerspruch geführt und   muss eine Nullstelle haben.

Beweisvariante mittels des Cauchyschen IntegralsatzesBearbeiten

Eine Beweisvariante unter Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes findet sich bei Bartel Leendert van der Waerden[4]:

Unter der Annahme, dass   für die Polynomfunktion   gelte, setze   und betrachte   definiert durch   für   und stetig fortgesetzt bei   dank  . Mit   sind – gemäß Annahme – auch   und   auf der gesamten Ebene   holomorph, das heißt ganze Funktionen. Also verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz das Weg-Integral über eine Kreislinie   mit Radius   um den Nullpunkt, und mittels Kreislinienparametrisierung[Anm 2] kommt:

 

Nun gibt es zu jedem beliebig gegebenem   einen genügend großen Radius  , so dass für den Integranden   auf   gilt, und für das Integral folglich  . Hieraus folgt  , was auf den Widerspruch   stößt.

Beweis mit Methoden der komplexen GeometrieBearbeiten

Wir fassen   als Abbildung des komplex-projektiven Raums   auf, d. h.  ,  . Die so definierte Abbildung komplexer Mannigfaltigkeiten ist holomorph und damit offen (d. h. das Bild jeder offenen Teilmenge ist offen). Da   kompakt und   stetig ist, ist das Bild   auch kompakt, insbesondere abgeschlossen in  . Damit ist das Bild bereits ganz  , denn   ist zusammenhängend. Insbesondere gibt es ein  , welches auf   abgebildet wird, d. h. eine Nullstelle von  .

Beweis mit Methoden der DifferentialtopologieBearbeiten

Ähnlich wie im obigen Beweis aus der komplexen Geometrie fassen wir   als Selbstabbildung der Sphäre   auf. So ist   (reell) differenzierbar und die Menge der kritischen Punkte ist als Nullstellenmenge der Ableitung endlich, womit die Menge der regulären Werte zusammenhängend ist. Die Kardinalität   des Urbilds eines regulären Wertes   ist außerdem lokal konstant als Funktion in   (  ist injektiv auf Umgebungen von Punkten in  ). Dies zeigt, dass   surjektiv ist, denn reguläre Werte werden somit stets angenommen und kritische Werte werden nach Definition angenommen.[5]

Verallgemeinerung des FundamentalsatzesBearbeiten

Der Fundamentalsatz der Algebra lässt sich mit Hilfe topologischer Methoden unter Anwendung der Homotopietheorie und des Abbildungsgrades weiter verallgemeinern:[6]

Jede stetige Funktion      , für die eine natürliche Zahl       und weiter eine komplexe Zahl       existieren derart, dass       erfüllt ist, hat eine Nullstelle.

Hieraus folgt der Fundamentalsatz, indem man zu einer komplexen Polynomfunktion             vom Grad       den Leitkoeffizienten als Konstante, also     nimmt.

LiteraturBearbeiten

Originalliteratur und Literatur vor 1930Bearbeiten

Literatur nach 1930Bearbeiten

Weiterführende Literatur zur Theorie formal-reeller und reell abgeschlossener KörperBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra – Lern- und Lehrmaterialien

AnmerkungenBearbeiten

  1. Man beachte hier den Satz von Bolzano-Weierstraß oder Folgerungen daraus.
  2. Nämlich   mit  

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. So schreibt Heinrich Weber 1895 im Vorwort seines – zunächst auf nur zwei Bände angelegten – Lehrbuchs der Algebra PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de: „Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie.“ So betrachtet Weber denn auch zu Beginn seines Lehrwerks, die Grundlagen (Erstes Buch) legend, im Ersten Abschnitt die Rationalen Functionen bringt in § 38 (des Dritten Abschnittes. Die Wurzeln) einen rein analytischen Beweis des Fundamentalsatzes, der dem hier gegebenen im Wesentlichen gleichkommt; der Achte Abschnitt (Der Sturm'sche Lehrsatz) des Zweiten Buches (Die Wurzeln) dieses ersten Bandes, gipfelt in § 98. Gauss' erster Beweis des Fundamentalsatzes des Algebra mit Hilfe des Sturmschen Satzes. Dennoch ist bei Weber der Wandel des Verständnisses der Algebra deutlich spürbar, da er dem eben gebrachten Zitat aus dem Vorwort (S. v) folgende Sätze vorausschickt: „Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung sind, das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie. Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hinausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie oder in ihren Anwendungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlentheorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorwiegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg bezeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte.“ Bartel Leendert van der Waerden hingegen lässt sein einflussreiches Lehrbuch der „[Modernen] Algebra“ (Algebra I, 8. Auflage, 1971, siehe Literatur und Artikel zur Modernen Algebra) bereits – nach einem kurzen Kapitel über „Zahlen und Mengen“ – mit Betrachtungen zur Gruppentheorie beginnen. In § 80 (S. 252) lässt er deutlich anklingen, dass er den Namen „Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen“ treffender fände: „Der ‚Fundamentalsatz der Algebra‘, besser Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen, besagt […]“ Die erste Auflage dieses Buches erschien bereits 1930 – 22 Jahre nach Heinrich Webers drittem Band zur Algebra –, damals noch unter dem Titel Moderne Algebra. Nach eigenem Bekunden im Vorwort zur vierten Auflage entsprach van der Waerden dem Ratschlag einer Buchbesprechung Heinrich Brandts im Jahresbericht der DMV (1952, Band 55, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de oder PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, PDF-Seite 178) und nannte sein zweibändiges Lehrwerk ab der vierten Auflage des ersten Bandes (1955) schlicht Algebra. Zur Vertiefung dieser geschichtlichen Aspekte sei auf die Artikel Moderne Algebra und Algebra verwiesen.
  2. Man vergleiche auch Serge Langs Darstellung in seiner Linear Algebra sowie Heinrich Webers Darstellung in § 38 seines Lehrbuchs zur Algebra, Band I (siehe Literaturangaben). Auch der Beweis, den Camille Jordan in seinem Cours d'analyse, Tome I auf Seite 202 (Abschnitt III Fonctions rationnelles, Textziffern 209 bis 211) gibt, ist im Wesentlichen derselbe.
  3. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4, S. 84.
  4. Siehe Kapitel XI (Relle Körper), § 81 (Der Körper der komplexen Zahlen). In diesem Paragraphen bringt der Autor die Theorie der reellen Körper nach Artin-Schreier und mithin einen algebraischen Beweis des Fundamentalsatzes. Zuvor allerdings zeigt er den bekannten funktionentheoretischen Beweis mit Hilfe des Satzes von Liouville als den wohl „einfachsten Beweis“ und lässt in einer kleingedruckten Textpassage den hier gebrachten Beweis folgen, eingeleitet mit den Worten: „Will man nur die ersten Elemente der Funktionentheorie voraussetzen, so kann man statt der Funktion   […]“. Der Beweis greift den Beweisansatz zur Cauchyschen Integralformel auf, ergänzt um eine betragsmäßige Abschätzung für Polynomfunktionen. In späteren Auflagen (nach der 6. Auflage, spätestens mit der 8. Auflage) wurde diese kleingedruckte Passage jedoch zugunsten neuer Inhalte eliminiert. Eine Fußnote mit einem Verweis auf weitere Beweise blieb jedoch erhalten: „Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: ‚Cours d'Analyse I‘, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab Hermann Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914), S. 142.“ Der Jahrgang ist auf 1924 zu korrigieren: Gemeint ist offenbar Hermann Weyls Beitrag „Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik“ aus der Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), Seite 142, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Marie Ennemond Camille Jordans Cours d'Analyse I ist hier zu finden: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021. Siehe auch Katalogeinträge [1 catalogue.bnf.fr] oder [2 catalogue.bnf.fr] u. a. Ausgaben dortselbst. – Am Ende des XI. Kapitels notiert van der Waerden weitere Literaturhinweise, siehe Literatur.
  5. John W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint. S. 8–9.
  6. Siehe Kap. 5, § 3 (Ein homotopietheoretischer Beweis des Gaußschen Fundamentalsatzes der Algebra) in: Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. S. 170–175.