Fundamentalsatz der Algebra

mathematischer Satz über die Existenz komplexer Nullstellen von Polynomen

Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen.

Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom an, so folgt, dass die im Bereich der reellen Zahlen unlösbare Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss.

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind oder – äquivalent – dass die reellen Zahlen reell abgeschlossen sind.

Die Namensgebung wurzelt in einem traditionellen Verständnis der Algebra als der Lehre von Gleichungen höheren Grades mittels „Buchstabenrechnen“.[1][2]

Es sei

 

ein Polynom vom Grad   – also ein nicht konstantes Polynom – mit komplexen Koeffizienten  . Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d. h., es gibt eine Zahl  , so dass   gilt. Genauer gilt insbesondere, dass die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.

Anmerkung zum Fall reeller Koeffizienten

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Auch wenn   ein Polynom über den reellen Zahlen ist, wenn also alle Koeffizienten   in   liegen, sind die zugehörigen Nullstellen nicht notwendigerweise reell. Es gilt aber: Ist   eine nichtreelle Nullstelle von  , so ist auch ihr komplex Konjugiertes   eine Nullstelle von  . Ist   eine mehrfache Nullstelle von  , so hat   dieselbe Vielfachheit. In der faktorisierten Schreibweise des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor   zusammenfassen. Ausmultipliziert hat dieses Polynom zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten:

 

Daraus folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert, die dieses Ergebnis bereits in ihrem lateinischen Titel Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse verkündet (deutsch: „Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale algebraische Funktion in einer Variablen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades zerlegt werden kann“).

Folgerung: Algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Zahlkörpers

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Von einem Polynom   lässt sich der zu einer Nullstelle   mit   gehörende Linearfaktor   abspalten:  . (Dazu kann beispielsweise die Horner-Ruffini-Methode verwendet werden.) Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um eins reduziertes Polynom  , für welches das Verfahren wiederholt werden kann. Per Induktion ist hiermit gezeigt: Jedes nicht konstante Polynom über   zerfällt vollständig in ein Produkt aus Linearfaktoren:

  ,

wobei die   die Nullstellen des Polynoms sind.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt also, dass der Körper   der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

Beispiel

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Die Polynomgleichung

 

hat die Lösungen

  ,

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, wie anhand der Faktorisierung des Polynoms ersichtlich ist:

  .

Man verwendet auch die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf“, alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten aber immer paarweise komplex konjugiert auf (in obigem Beispiel  ).

Äquivalente Formulierungen

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Der Satz lässt sich in äquivalenten Formulierungen aussprechen, die hier zusammenfassend aufgeführt seien:

  • Jedes nicht-konstante reelle Polynom hat eine komplexe Nullstelle.
  • Jedes nicht-konstante reelle Polynom zerfällt im Komplexen vollständig in Linearfaktoren.
  • Jedes nicht-konstante komplexe Polynom hat eine Nullstelle.
  • Jedes nicht-konstante komplexe Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
  • Irreduzible komplexe Polynome sind linear.
  • Irreduzible reelle Polynome sind quadratisch oder linear. (Dies ist die Formulierung in Gauß' Dissertation Demonstratio nova theorematis … von 1799.)
  • Der Körper   ist algebraisch abgeschlossen.
  • Der Körper   ist reell abgeschlossen.
  • Der Körper   besitzt keine echten endlichen Körpererweiterungen.
  • Der Körper   besitzt lediglich eine echte endliche Körpererweiterung, nämlich  .

Die Äquivalenz folgt mittels vollständiger Induktion, Körpertheorie, schlicht per Definition oder aber mit Hilfe der Theorie formal reeller Körper. Insbesondere dank der letzteren ist auch folgende Formulierung äquivalent:

  • Der (angeordnete) Körper   besitzt folgende beiden Eigenschaften:
    • Positive reelle Zahlen sind Quadrate.
    • Jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt eine reelle Nullstelle.

Die Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie zeigt, dass diese beiden Eigenschaften den Fundamentalsatz implizieren, und abstrahiert von der Grundidee des Gaußschen Beweises von 1815.

Geschichte und Überblick

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Erste Formulierungen des Fundamentalsatzes finden sich im 17. Jahrhundert (Peter Roth, Albert Girard, René Descartes). Peter Roth (1608) vermutete, dass Gleichungen  -ten Grades höchstens   Lösungen haben, und Francois Viète gab Beispiele von Gleichungen  -ten Grades mit der maximalen Anzahl von   Lösungen an. Albert Girard vermutete 1629 (L'invention en l'algèbre) als Erster, dass es immer   Lösungen gibt, und vermutete schon neben reellen auch komplexe Lösungen. Leonhard Euler gab eine Formulierung des Fundamentalsatzes als vollständige Faktorisierung im Komplexen im heutigen Sinn an.

Gemäß einer Arbeit von Eugen Netto und R. Le Vavasseur aus dem Jahre 1907 ist davon auszugehen, dass es schon damals etwa einhundert Beweise des Fundamentalsatzes gab.[3] Der erste veröffentlichte Beweis von Jean d’Alembert 1746 war von der Idee her korrekt, jedoch enthielt er Lücken, die erst mit den Methoden der Analysis des 19. Jahrhunderts geschlossen werden konnten. Eine vereinfachte und auch nach modernen Kriterien noch korrekte Version dieses Beweises wurde von Jean-Robert Argand 1814 angegeben.[Anm 1] Weitere veröffentlichte Beweisversuche stammen von Euler (1749), Joseph-Louis Lagrange (1772), aufbauend auf dem Beweis von Euler, und Pierre Simon de Laplace (1795), der einen neuen Ansatz verfolgte unter Verwendung der Diskriminante des Polynoms.

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben (und eine Notiz dazu in seinem Tagebuch schon im Oktober 1797 eingetragen).[Anm 2] Im Gegensatz zu seinen Vorgängern ging Gauß auch das Problem an, die Existenz der Wurzeln im Komplexen zu beweisen und nicht stillschweigend vorauszusetzen. Auch dieser Beweis enthält einige analytische Schwächen, die erst später beseitigt werden konnten. Der zweite Beweis, der von Gauß 1815 vorgestellt und ein Jahr später publiziert wurde, baut auf Ideen von Leonhard Euler auf. Dieser induktive Beweis benutzt als analytische Grundlage (nämlich als Induktionsanker), unbewiesen und ohne dass eine Beweisnotwendigkeit gesehen wurde, lediglich den Zwischenwertsatz der reellen Analysis, genauer den Spezialfall, dass jedes Polynom ungeraden Grades immer eine reelle Nullstelle hat. Aus Sicht der „Modernen Algebra“ gehört dieser Beweis in die algebraische Theorie formal reeller Körper bzw. reell abgeschlossener Körper: Siehe hierzu den Abschnitt „Induktiver Beweis mit algebraischen Methoden und dem Zwischenwertsatz“. Der Fundamentalsatz der Algebra erscheint aus dieser Perspektive in der Gestalt: Der Körper der reellen Zahlen   ist reell abgeschlossen, das heißt,   ist algebraisch abgeschlossen.

Ein Beweis, der gleichzeitig ein effizientes Berechnungsverfahren beinhaltet, wurde 1859 (und nochmals 1891) von Karl Weierstraß veröffentlicht. Das darin enthaltene Verfahren wird heute als Durand-Kerner-Verfahren bezeichnet.

Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten. Am kürzesten kann der Fundamentalsatz der Algebra nach Augustin-Louis Cauchy und Joseph Liouville mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden. Eine annähernd direkte Plausibilität vermittelt die topologische Argumentation auf Basis der Umlaufzahl. Relativ elementar ist der analytische Beweis.

Der bewertungstheoretische Beweis (H. Brückner, 1990) führt den Fundamentalsatz mit Hilfe elementarer Überlegungen über Erweiterungen lokalkompakter Körper auf den Vollständigkeitssatz von A. Ostrowski (1916) zurück, der seinerseits elementar bewiesen wird. Dabei wird der enge Zusammenhang zwischen der Theorie archimedischer Bewertungen auf Körpern und der algebraischen Theorie formal reeller (speziell reell abgeschlossener) Körper erkennbar. Der Vollständigkeitssatz betrachtet insbesondere vollständige archimedisch bewertete Körper und impliziert den Fundamentalsatz in der Gestalt: Der Körper   besitzt keine echte endliche Erweiterung. Um den Vollständigkeitssatz anwenden zu können, bleibt lediglich zu zeigen, dass der Absolutbetrag auf   auf eine endliche Erweiterung fortsetzbar ist.

Im Folgenden sei   stets ein nichtkonstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten und insbesondere  . Dieses sei als Funktion   aufgefasst.

Rein analytischer Beweis

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Dieser Beweis[4] wurde 1746 von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert vorgeschlagen, jedoch erst 1814 von Jean-Robert Argand vervollständigt. Die zentrale Aussage dieses Beweises ist, dass zu jedem Punkt  , der keine Nullstelle ist, ein Punkt   in der Umgebung angegeben werden kann, der eine Verkleinerung im Betrag des Funktionswerts ergibt,  . Hat der Betrag der Funktionswerte also einen Minimalpunkt, so muss dieser ein Nullpunkt sein. Da die Menge   kompakt ist und der Betrag verknüpft mit   stetig, gibt es immer einen solchen Minimalpunkt und damit eine Nullstelle.[Anm 3]

Zur zentralen Aussage entwickle man   in  , d. h.

 .

Ist  , so ist   eine Nullstelle. Sonst wähle man das kleinste   mit   und betrachte die beiden Ungleichungen für  

  und  .

Beide Ungleichungen sind für   erfüllt, und es gibt ein endliches, größtes  , so dass sie auf dem gesamten Intervall   erfüllt sind. Für ein   aus diesem Intervall wähle man ein   mit   und so, dass mit einem reellen Faktor   die Beziehung   gilt. Für den interessierenden Betrag des Funktionswertes gilt nun nach Dreiecksungleichung

 

Beweis mit Methoden der Topologie

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Ein Beweis mit dieser Methode wurde 1799 von Gauß gegeben. Er zerlegte die Polynomfunktion in Real- und Imaginärteil,  . Die Nullstellenmengen von   und   sind aus einzelnen eindimensionalen Bögen zusammengesetzt, die eine endliche Anzahl von Knotenpunkten in der Ebene verbinden. Von jedem Knotenpunkt geht eine gerade Anzahl von Bögen aus. Auf keinen Fall kann ein Bogen in einem Punkt einfach enden. Auf jedem Kreis mit genügend großem Radius gibt es   Nullstellen von   und   Nullstellen von  , die sich abwechseln. Jeder zusammenhängende Teil des Nullstellengraphen von   hat auf einem großen Kreis eine gerade Anzahl von Schnittstellen, die eine ungerade Anzahl von Schnittstellen des Nullstellengraphen von   einschließen. Damit muss ein Bogen des Graphen von   aus dem zusammenhängenden Teilstück des Graphen von   herausragen. Dies geht nur, wenn die Graphen von   und   sich schneiden, der Schnittpunkt aber ist eine Nullstelle von  .

 
Zum Polynom   ist das Bild des Kreises mit Radius 10 um den Ur­sprung dargestellt. Für jedes kubische Poly­nom kann mittels Betrags­abschätzung elemen­tar nach­ge­wiesen werden, dass die Bil­der ge­nügend großer Kreise Kurven sind, die den Ur­sprung drei­mal umrunden. Wird der Kreis bis zum Nullpunkt ver­klei­nert, zieht sich das vom Poly­nom er­zeugte Bild auf einen Punkt zu­sam­men, der gleich dem kon­stanten Term   ist (im Bei­spiel ist  ).

Moderne Versionen dieses Beweises benutzen den Begriff der Windungszahl. Die darauf aufbauende Argumentation liefert zugleich eine direkte Plausibilität für die Richtigkeit des Fundamentalsatzes der Algebra. Siehe dazu auch die Abbildung.

Für den Beweis wird angenommen, dass das Polynom   keine komplexen Nullstellen besitze. Dann kann für jedes   eine geschlossene, stetige Kurve

 ,  

konstruiert werden, die die (skalierten) Funktionswerte des Polynoms auf dem Kreis mit Radius   durchläuft. Da kein Funktionswert Null ist, kann eine Umlaufzahl definiert werden. Da sich die Kurve bei Änderung des Parameters   stetig ändert, kann sich die Umlaufzahl nur ändern, wenn die sich ändernde Kurve den Nullpunkt überquert. Da nach Annahme die Funktion   keine Nullstelle besitzt, ist eine solche Überquerung des Nullpunktes nicht möglich. Daher muss die Umlaufzahl für alle   dieselbe sein.

Für sehr große Werte von   wird die Kurve der entsprechenden Kurve der  -ten Potenz, genauer des Polynoms  , immer ähnlicher, die Umlaufzahl muss daher konstant   sein. Für sehr kleine Werte von   wird die Kurve der konstanten Kurve mit Wert   immer ähnlicher, also muss die – für alle   konstante – Umlaufzahl gleichzeitig den Wert 0 besitzen. Dies ist gleichzeitig nur möglich, wenn   gilt, das Polynom also konstant ist. Für Polynome höheren Grades führt dieses Argument zum Widerspruch, also muss es Nullstellen   mit   geben.

Induktiver Beweis mit algebraischen Methoden und dem Zwischenwertsatz

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Die Grundidee der Beweise dieses Abschnittes geht zurück auf Carl Friedrich Gauß (1815), dessen Beweis daher als erster dargestellt ist.[Anm 4] Aus modernerer Sicht beruht er auf Argumenten aus der algebraischen Theorie der formal reellen Körper. Die nachfolgenden Beweisvarianten lassen dies erkennen und insbesondere, dass der Zwischenwertsatz, der einen topologischen Körper   benötigt, durch eine lediglich algebraische Voraussetzung ersetzt werden kann. Deren Gültigkeit für   nachzuweisen, erfordert jedoch nicht-algebraische Methoden (wie den Zwischenwertsatz).

Beweis nach Gauß 1815

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Ein solcher Beweis wurde 1815 von Gauß präsentiert. Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat sowie dass quadratische Gleichungen, auch mit komplexen Koeffizienten, elementar lösbar sind. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz des Faktors   im Grad des Polynoms.

Es sei zunächst   quadratfrei und mit reellen Koeffizienten vorausgesetzt. Der Grad habe eine Faktorisierung   mit   ungerade. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz   des Faktors   im Grad des Polynoms. Ist  , so gibt es eine Nullstelle nach dem Zwischenwertsatz. Es sei nun im Induktionsschritt vorausgesetzt, dass   und dass alle Polynome mit Graden   bei ungeradem   mindestens eine Nullstelle besitzen.

Es sei, der Einfachheit halber, ein (abstrakter) Wurzel- oder Zerfällungskörper   des Polynoms   konstruiert, in welchem es die paarweise verschiedenen (wiederum abstrakten) Nullstellen   hat,

 .

In   sei die Menge der   Punkte  ,  , betrachtet. Da die abstrakten Nullstellen paarweise verschieden sind, gibt es nur eine endliche Anzahl von Geraden, die durch mindestens zwei dieser Punkte verlaufen, insbesondere auch nur eine endliche Anzahl reeller Anstiege   solcher Geraden, für welche die Differenz   zweimal denselben Wert annimmt. Für alle anderen Werte von   ist das Polynom

 

ebenfalls quadratfrei und symmetrisch in den abstrakten Nullstellen  . Daher können die Koeffizienten von   als Polynome in   und den Koeffizienten von   dargestellt werden,   ist also für jedes reelle   ein Polynom mit reellen Koeffizienten und kann mittels Resultanten aus   bestimmt werden. Der Grad von   beträgt  , wobei   eine ungerade Zahl ist, da ja   (also ein gerades  ) für den Induktionsschritt vorausgesetzt war. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es wenigstens eine komplexe Nullstelle   mit  . Aus den partiellen Ableitungen nach   und   in der Nullstelle können komplexe Zahlen   und   bestimmt werden, so dass mindestens eine der Nullstellen von   eine Nullstelle von   ist.

Hat   auch echt komplexe Koeffizienten, so hat   nur reelle Koeffizienten. Jede Nullstelle des Produkts ist Nullstelle eines Faktors, somit also selbst oder als komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle von  . Ist das nun reelle Polynom nicht quadratfrei, so kann mit Polynomarithmetik (u. a. euklidischer Algorithmus) eine Faktorisierung in (nichtkonstante) quadratfreie Faktoren gefunden werden, von denen jeder mindestens eine Nullstelle enthält.

Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie

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Die Idee des folgenden Beweis geht auf den soeben dargestellten Beweis von Carl Friedrich Gauss aus dem Jahre 1815 zurück.[5][6][7] Er ersetzt die Argumentationen aus der Theorie symmetrischer Polynome durch Argumente aus der Galois-Theorie. Der Zwischenwertsatz bleibt Grundlage für den Induktionsanker. Dabei wird erkennbar, dass lediglich eine algebraische Eigenschaft des Polynomringes   benötigt wird. Ihre Gültigkeit folgt aus dem Zwischenwertsatz unter Zugrundelegung der „gewöhnlichen“ Topologie, obschon sie selbst keine Topologie voraussetzt (siehe unten stehende Eigenschaft „B-W“).

Zunächst bezeichne   einen Körper – später wird   zu betrachten sein – und   ein irreduzibles separables Polynom vom Grade   mit ungeradem  , und seine Nullstellen in einem Zerfällungskörper   seien mit   bezeichnet, so dass es in   in das Produkt   zerfällt.

Konstruktion eines Zwischenkörpers zur Reduktion:

  • Dann haben   und   und allgemeiner   für   und beliebiges   höchstens den Grad   über  , denn ihr jeweiliges Minimalpolynom ist ein Teiler des Polynoms  , wie nun begründet wird:
    • Klar sind die Aussagen   und  .
    • Die Behauptung, dass  , lässt sich mit dem Hauptsatz der Galois-Theorie oder aber mit demjenigen über elementarsymmetrische Funktionen begründen: Für jeden Automorphismus   ist nämlich  , woraus dank Galois-Theorie die Behauptung folgt. Unter Benutzung des Hauptsatzes über elementarsymmetrische Funktionen hingegen folgt sie aus der (noch stärkeren) Tatsache, dass das Polynom   (darüber hinaus sogar) jede Permutation seiner Wurzeln   untereinander gestattet.[Anm 5]

Von nun habe der Körper   unendlich viele Elemente.

  • Dann kann   derart gewählt werden, dass die   (für  ) paarweise verschieden sind (natürlich ist stets  ), also insbesondere  , sobald  . Dann hat die Nullstellenmenge   von   genau   Elemente, und   ist irreduzibel, mithin Minimalpolynom eines jeden  . Nach Wahl von   und wegen   lassen nur die Identität und die Transposition   das Element   fest, und diese beiden lassen auch   und   fest. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie ist also  .[Anm 6]
  • Somit ist ein Zwischenkörper   der Erweiterung   vom Grade   bestimmt, wobei   ungerade für gerades   ist.[Anm 7]
  • Das Polynom   hat (nach dem Vietaschen Wurzelsatz) die Nullstellen   und  . Es ist also ein quadratisches Polynom über einem Zwischenkörper   vom Grade   gefunden, welches mit   zwei Nullstellen gemein hat.

Die Vervollständigung des Beweises durch Induktion ermöglichen die folgenden Eigenschaften, die für einen reell abgeschlossenen Körper kennzeichnend sind und welche der Körper   erfüllt. Um die Gültigkeit dieser besonderen Eigenschaften für den Körper   hervorzuheben, notieren wir ihn fortan als  .

  • Eigenschaft „Pos“: Der Körper   besitzt eine Anordnung, ist also ein angeordneter Körper.
    • Folgerung: Quadrate und Quadratsummen sind positiv, insbesondere die Eins und ihre Vielfachen.
    • Folgerung:  
    • Folgerung:   ist vollkommen und unendlich.
    • Folgerung: Die Anordnung eines angeordneten Körpers induziert auf ihm eine Bewertung bzw. einen Betrag und somit die Struktur eines topologischen Körpers. (Diese Folgerung wird zum Beweis nicht benötigt. An die Stelle der Argumentation mit Hilfe des Zwischenwertsatzes tritt nämlich die rein algebraische Eigenschaft „B-W“.)
  • Eigenschaft „P=Q“: Positive Elemente aus   sind Quadrate.
    • Folgerung: Jedes Element aus   ist ein Quadrat.
    • Folgerung: Daher zerfällt jedes quadratische Polynom über  .
  • Eigenschaft „B-W“: Polynome ungeraden Grades über   haben (mindestens) eine Nullstelle in  , spalten also einen Linearfaktor ab.
    • Anmerkung: Wegen   ist dies genau die Aussage des Nullstellensatzes von Bolzano-Weierstraß (Zwischenwertsatz) spezifiziert auf Polynome   ungeraden Grades. (Dabei wird die Topologie zugrunde gelegt, welche die Anordnung mit sich bringt.)

Behauptung:   ist algebraisch abgeschlossen.

Beweis durch Induktion nach  : Den Induktionsanker bei   liefert Eigenschaft „B-W“. Für den Induktionsschritt sei nun  , so dass der Grad   gerade und das Produkt   ungerade sind. Dann zerfällt   gemäß der seinen Grad   betreffenden Induktionsvoraussetzung vollständig in Linearfaktoren über  , von denen einer also   ist. Daher ist  , je nachdem, ob   oder nicht. In beiden Fällen folgt mit Eigenschaft „P=Q“, dass  , was zu zeigen genügt.[Anm 8]

Anwendung: Für   ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra, sofern man die Eigenschaften „Pos“, „P=Q“ und (mit Hilfe des Zwischenwertsatzes) „B-W“ für   bestätigt hat.

Beweisvariante nach Emil Artin durch Galois-Theorie und Sylow-Sätze

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Auch die nun folgende Beweisvariante setzt für den Grundkörper   die Eigenschaften „Pos“, „P=Q“ und „B-W“ reell abgeschlossener Körper voraus, die im vorigen Abschnitt aufgeführt und im Falle des Körpers   der reellen Zahlen erfüllt sind. Sie ersetzt die Konstruktion des Zwischenkörpers   dank der Galois-Theorie durch Existenzsätze aus der Gruppentheorie (Sylow-Sätze). Auf diese Weise tritt die Induktion nicht mehr in Erscheinung, da sie im Beweis der Sylow-Sätze aufgehoben ist. Die Grundideen dieses Beweises gehen, wie Serge Lang[8] anmerkt, auf Carl Friedrich Gauss zurück (vgl. obigen Beweis nach Gauß 1815). Emil Artin habe ihn – im Wesentlichen unter Verwendung der Sylow-Sätze – variiert.

Es bezeichne   die durch Adjunktion von   entstehende quadratische Erweiterung von  .

Behauptung: Der Körper   gestattet keine endlichen Erweiterungen   außer der trivialen  . Für   ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra.

Zum Beweis: Es sei also eine endliche Erweiterung   gegeben. Sie lässt sich, da   vollkommen ist, einbetten   in eine Galois-Erweiterung   mit Galois-Gruppe  . Dabei ist bekanntlich auch   eine Galois-Erweiterung. Zu zeigen ist  .

  • Der zu einer 2-Sylow-Gruppe   gehörige Fixkörper   hat also ungeraden Grad über  , wird also von einem primitiven Element erzeugt, dessen Minimalpolynom ungeraden Grad hat und wegen Eigenschaft „B-W“ (und nach Wahl von   als 2-Sylow-Gruppe) also linear ist! Daher sind   und  , und die Galois-Gruppe   ist ihre eigene 2-Sylow-Gruppe. – Wenn also   mit ungeradem  , dann ist somit   gezeigt. Die Erweiterung   hat also den Grad  .
  • Nun sei   die zu   gehörige Untergruppe von  , also die Galois-Gruppe  , so dass   und  .
  • Ist  , d. h.  , so ist   und enthält eine maximale 2-Gruppe  , also der Ordnung  . (Für den Fall   sei die triviale Möglichkeit   gestattet.) Der zu   gehörige Fixkörper   hätte also den Grad  , wäre somit eine quadratische Erweiterung von  , was auf den Widerspruch der Eigenschaft „P=Q“ stößt.
  • Es folgt insgesamt  , d. h.  , was zu beweisen war.

Beweis mit Hilfe des Satzes von Gelfand-Mazur

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Der Fundamentalsatz der Algebra folgt aus dem Satz von Gelfand-Mazur (Lemma über das Spektrum), nämlich aus der Tatsache, dass das Spektrum eines Elementes   einer komplexen Banachalgebra   mit Einselement nicht leer ist: Denn ein Polynom   vom Grade   ist charakteristisches Polynom seiner Begleitmatrix  . Dabei ist   ein (triviales, da endlichdimensionales) Beispiel einer Banachalgebra, und das Spektrum   der Matrix   besteht genau aus ihren Eigenwerten, das heißt aus den komplexen Nullstellen von  . Dass diese Menge nicht leer ist, ist gerade die Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra.

Beachtet man, dass eine endliche Körpererweiterung   eine komplexe Bachachalgebra ist und somit die Voraussetzungen des Satzes von Gelfand-Mazur erfüllt, so erscheint der Fundamentalsatz der Algebra (gar als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur) in der Form: Der Körper   besitzt keine echten endlichen Körpererweiterungen.

Notabene: Sowohl der Satz von Gelfand-Mazur als auch der Fundamentalsatz der Algebra können mit dem Satz von Liouville bewiesen werden. Zum Beweis des Satzes von Gelfand-Mazur können transfinite Methoden (Lemma von Zorn, Auswahlaxiom) in Gestalt des Satzes von Hahn-Banach genutzt werden. Für den Fundamentalsatz der Algebra freilich ist dies ein „überdimensioniertes“ Argument.

Der folgende bewertungstheoretische Beweis nach Helmut Brückner führt den Fundamentalsatz der Algebra nicht auf den Satz von Gelfand-Mazur zurück, sondern auf den schwächeren Vollständigkeitssatz von Ostrowski, der sich elementar beweisen lässt – wie sich übrigens auch der Satz von Gelfand-Mazur auf den elementar beweisbaren Satz von Gelfand-Tornheim zurückführen lässt.

Bewertungstheoretischer Beweis nach H. Brückner

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Helmut Brückner bemerkte 1990, dass sich der Fundamentalsatz der Algebra mittels einer Beweisidee von Wulf-Dieter Geyer[9] und eines Rechenkniffs von Emil Artin[10] auf den „Vollständigkeitssatz“ von A. Ostrowski[11] zurückführen lässt.[12]

Der erwähnte Vollständigkeitssatz von Ostrowski betrachtet vollständige archimedisch bewertete Körper und lautet: Jeder Körper, der bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig ist, ist algebraisch und topologisch isomorph zum Körper der reellen Zahlen oder zum Körper der komplexen Zahlen. Mit anderen Worten: Es gibt keine echte Körpererweiterung der komplexen Zahlen, auf welche der komplexe Absolutbetrag archimedisch fortgesetzt werden könnte.[13]

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass es keine echte endliche Körpererweiterung von   gibt, und folgt daher aus dem oben erwähnten Satz von Ostrowski, sobald gezeigt ist, dass man einen archimedischen Betrag eines lokalkompakten Körpers (wie  ) auf eine endliche Erweiterung fortsetzen kann, was W.-D. Geyers[9] Beweisidee, zusammen mit einem Rechenkniff Emil Artins[10], besorgt. Dies ist die Argumentation des Beweises von Helmut Brückner.

Fundamentalsatz der Algebra: Der Körper   der komplexen Zahlen ist keiner echten endlichen Erweiterung fähig. Mit anderen Worten: Eine endliche Körpererweiterung   ist notwendig trivial (das heißt:  ).

Der Beweis gliedert sich in zwei Abschnitte: Abschnitt (G&A) zeigt die Fortsetzbarkeit des Absolutbetrages gemäß der Idee von Wulf-Dieter Geyer, flankiert von Emil Artins Trick. Damit ist der Satz auf den Vollständigkeitssatz von Ostrowski zurückgeführt, welcher sodann in Abschnitt (O) bewiesen wird, ohne die Endlichkeitsbedingung zu nutzen. Beides zusammen genommen ergibt den Fundamentalsatz der Algebra.

(G&A): Im ersten Beweisschritt betrachte allgemeiner – anstelle von   – einen (nicht notwendig archimedisch) bewerteten lokalkompakten Körper  , eine endliche Erweiterung   vom Grade   und zeige, dass durch   der Absolutbetrag   auf   zu einem Absolutbetrag   auf   fortgesetzt wird.[14] Die Multiplikativität folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, insbesondere die Homogenität ( ) aus   für  . Da auch positive Definitheit gegeben ist, bleibt die Dreiecksungleichung zu zeigen. Hierbei wird – getreu dem Hinweis von Wulf-Dieter Geyer[9] – ausgenutzt, dass es sich um lokalkompakte Körper handelt.[9]

  • Es sei dazu   die Maximumsnorm des komplexen Vektorraums   bezüglich einer Basis.[Anm 9] (Normen endlichdimensionaler Vektorräume über vollständigen Körpern sind äquivalent.) Dann ist   bezüglich der durch diese Maximumsnorm induzierte Metrik stetig, und   ist kompakt. Nach dem Maximumprinzip (siehe auch Satz von Weierstrass) existieren also   mit der Eigenschaft:   für jedes  .
  • Hieraus und aus der Homogenität von   folgt   für jedes  .
  • Insbesondere für   folgt daraus  .
  • Es folgt unmittelbar   für beliebige  .

Gilt dies sogar für  , so liegt eine ultrametrische, d. h. nicht-archimedische Bewertung vor, für die neben der Dreiecksungleichung sogar die stärkere Ultradreiecksungleichung gilt. – Im Falle   lässt sich mit Hilfe einer Rechnung nach Emil Artin[10] die Dreiecksungleichung folgern: Dies betrifft den archimedischen Fall, der Gegenstand des Fundamentalsatzes der Algebra ist.

  • Induktiv ergibt sich   für beliebige  .
  • Für   gilt also:  ,
  • und im Grenzübergang   folgt die Dreiecksungleichung  , wie gewünscht.
  • Damit ist gezeigt, dass die Erweiterung   eine Erweiterung archimedisch bewerteter vollständiger Körper ist.

(O): Im zweiten Beweisschritt betrachte nun speziell   und stelle zunächst fest, dass die Voraussetzungen des Vollständigkeitssatzes von A. M. Ostrowski für die Erweiterung   gemäß (G) zutreffen. Folglich ist der Fundamentalsatz der Algebra nun auf diesen zurückgeführt – genauer gesagt: auf die (schwierigere) Teilaussage, dass   keine echte vollständige archimedisch bewertete Körpererweiterung besitzt. Ihr Beweis benötigt die Endlichkeit der Erweiterung   nicht und soll nun – Ostrowskis Originalarbeit[11] folgend – bewiesen werden. Ostrowski zeigt  , indem er die Annahme   zu einem Widerspruch führt.

  • Wegen   gilt zunächst für jedes  
    • einerseits (i)   und
    • andererseits (ii)  .
  • Folglich nimmt die stetige Funktion   nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum   auf dem Kompaktum   an:  . Nach Definition hängt   nur von der „affinen Ebene“   in   ab.
  • Die „Sphäre“   ist also nicht leer, und bei geschickter Auswahl eines   gilt sogar   und  .
    • Denn für   gilt trivialerweise  . Speziell für   und   ergibt sich   und insgesamt   für jedes  .

Von nun an sei gemäß Annahme ein   ausgewählt, das heißt, es sei   vorausgesetzt.[Anm 10] Ziel ist es, hieraus den Widerspruch   abzuleiten.

  • Dazu zeige die Zwischenbehauptung: Für   und   gilt  .[Anm 11] Mit anderen Worten:  .[Anm 12]
    • Zu ihrem Beweis werden die  -ten primitiven Einheitswurzeln   (bspw.  ) herangezogen: Für   gilt
 .[Anm 13]
Das Gleichheitszeichen „ “ gilt nur nach Übergang vom allgemeinen   zu jenem   mit  , der ohne Verlust des Wesentlichen möglich ist, wie zuvor begründet.[Anm 14]
Sodann ist gemäß Hypothese ( ) die Division durch   möglich. Beachtet man dabei die Auswahl von  , so erhält man insgesamt die Abschätzung mit Konvergenz  .[Anm 15]
Der Grenzübergang erzwingt die Gleichheit  , also   (bzw.  ), wie behauptet.
  • Aus dieser Behauptung folgt induktiv[Anm 16]   für beliebiges   und  , das heißt   und mithin  .[Anm 17]
  • Dies steht jedoch im Widerspruch zur Tatsache, dass   ein archimedischer Betrag ist, für den gilt:  , sobald nur  .

Somit ist die Annahme   widerlegt und der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra erbracht.

Anmerkung:

  • Es kann leicht gezeigt werden, dass die in (G) angegebene Fortsetzung des Absolutbetrages die einzig mögliche ist.

Vollständigkeitssatz von Ostrowski und reell abgeschlossene Körper

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Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski besagt, dass ein vollständiger archimedisch bewerteter Körper   entweder mit   oder mit   topologisch und algebraisch identifiziert werden kann. Um also den Beweis dieses Satzes zu vollenden, muss zunächst angemerkt werden, dass notwendig  , da   der topologische Abschluss (Vervollständigung) des Primkörpers   eines archimedisch bewerteten Körpers ist. Also wähle man als Grundkörper   und mache sich klar, dass für die Erweiterung   nur entweder (trivialerweise)   oder (nach dem obigen Beweis)   in Frage kommen, denn:

  • Ist   über   reduzibel, so liefert der bereits bewiesene Teil „(O)“ des Vollständigkeitssatzes  .
  • Ist jedoch   über   irreduzibel, so betrachte die quadratische Erweiterung  :
    • Auf sie lässt sich die Bewertung   von   fortsetzen. Zur Begründung sei auf den Beweisteil „(G&A)“ verwiesen oder aber auf einen elementaren Hilfssatz für quadratische Erweiterungen vollständiger Körper, der sich in Ostrowskis Arbeit von 1918[11] befindet.
    • Also liefert der bereits bewiesene Teil „(O)“ des Vollständigkeitssatzes  .
    • Die Erweiterung   bietet aus Gradgründen keinen Platz für einen echten Zwischenkörper  , so dass in diesem Falle   folgt.
  • Damit ist insgesamt also   und der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper bewiesen.

Welcher der beiden Fälle   oder   vorliegt, entscheidet sich somit an der Frage, ob eine (und damit jede) der folgenden, für den hier betrachteten (vollständigen archimedisch bewerteten) Körper   äquivalenten Bedingungen[Anm 18] erfüllt ist oder nicht:

  • Der Körper   enthält nicht jede Einheitswurzel.[Anm 19]
  • Das Element   ist in   kein Quadrat.
  • Das Element   ist in   keine Quadratsumme.
  • In   verschwindet eine Quadratsumme nur dann, wenn jeder Summand verschwindet.
  • Das Polynom   ist über   irreduzibel.
  • Es gibt ein nicht-lineares, über   irreduzibles Polynom.[Anm 20]
  • Der Körper   ist formal reell.
  • Der Körper   ist reell abgeschlossen.
  • Der Körper   verfügt über eine Anordnung.
  • Der Betrag   auf   wird von einer Anordnung auf   induziert.
  • Die „Einheits-Sphäre“   enthält nur zwei Elemente.[Anm 21]
  • Bezogen auf die (sogar eindeutig) existierende Anordnung auf   gelten die beiden Eigenschaften:
    • Eigenschaft „P=Q“: Positive Elemente sind Quadrate in  .
    • Eigenschaft „B-W“: Polynome ungeraden Grades über   haben eine Nullstelle in  , spalten also einen Linearfaktor ab.
  • Es gibt eine Einbettung   topologischer (angeordneter) Körper.[Anm 22]

Hieran wird deutlich, wie eng der bewertungstheoretische Beweis nach H. Brückner und der Vollständigkeitssatz von Ostrowski mit der Theorie formal reeller Körper und der obigen Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie zusammenhängen – und letztlich auch mit dem Beweis von Gauß von 1815, der auf Vorarbeiten von Euler, Laplace und Lagrange beruht und genau diese Argumente heranzieht.

Zusammenhang mit dem Satz von Gelfand-Mazur

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Der erwähnte Vollständigkeitssatz von Ostrowski steht in engem Zusammenhang mit dem Satz von Gelfand-Mazur über die Tatsachen,

  • dass das Spektrum einer komplexen Banach-Algebra mit Einselement nicht leer ist und
  • dass eine komplexe Banach-Algebra, die ein Schiefkörper ist, mit dem Körper   identifiziert werden kann.

Beide Sätze, sowohl der Satz von Gelfand-Mazur als auch der Fundamentalsatz der Algebra, lassen sich mit dem Satz von Liouville beweisen. Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine elementare Anwendung des Satzes von Gelfand-Mazur, der Banachalgebren beliebiger Dimension betrachtet und daher zu seinem Beweis transfinite Methoden (Satz von Hahn-Banach) benötigt.

Der Satz von Gelfand-Mazur verallgemeinert den erwähnten Vollständigkeitssatz von Ostrowski auf komplexe Banachalgebren und liefert somit eine Verallgemeinerung in zweierlei Hinsicht: Banachalgebren müssen nicht kommutativ sein, und ihre Normen unterliegen schwächeren Anforderungen als Absolutbeträge von Körpern.[Anm 23]

Beweis mit Methoden der Funktionentheorie

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Indirekter Beweis mit dem Satz von Liouville

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Wegen   existiert ein  , so dass   für alle   mit   gilt. Weil sowohl   und damit auch der Betrag   stetig sind, als auch die Kreisscheibe   kompakt ist, existiert nach dem Satz von Weierstrass eine Stelle   mit minimalem Betrag des Funktionswertes,   für alle  . Nach Konstruktion ist   sogar ein globales Minimum. Wäre   positiv, so wäre die reziproke Funktion   holomorph auf   und durch   beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant. Somit wäre auch   konstant, was der Voraussetzung widerspricht. Da   folgt  , also existiert eine Nullstelle (in  ).

Direkter Beweis mittels des Cauchyschen Integralsatzes

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Der Fundamentalsatz der Algebra ist mit Hilfe elementarer Abschätzungen sogar direkt aus dem Cauchyschen Integralsatz ableitbar, und zwar wie folgt:[15]

Das Polynom   lässt sich in der Form   darstellen, wobei   ein weiteres Polynom ist.

Nimmt man nun an,   sei ohne Nullstelle, so lässt sich für   stets schreiben:

 .

Nun bildet man für jedes   das Wegintegral der auf   gebildeten Kehrwertfunktion   über den Kreislinienweg   und erhält:

 .

Aufgrund der angenommenen Nullstellenfreiheit von   ist

 

holomorph, womit sich infolge des Cauchyschen Integralsatzes weiter ergibt:

 

und daraus:

   .

Dies gilt für jedes beliebige  .

Nun ist jedoch   und damit folgt aus der letzten Ungleichung unmittelbar:

 ,

was sicher falsch ist.

Damit ist die angenommene Nullstellenfreiheit von   zum Widerspruch geführt und   muss eine Nullstelle haben.

Beweisvariante mittels des Cauchyschen Integralsatzes

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Eine Beweisvariante unter Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes findet sich bei Bartel Leendert van der Waerden[16]:

Unter der Annahme, dass   für die Polynomfunktion   gelte, setze   und betrachte   definiert durch   für   und stetig fortgesetzt bei   dank  . Mit   sind – gemäß Annahme – auch   und   auf der gesamten Ebene   holomorph, das heißt ganze Funktionen. Also verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz das Weg-Integral über eine Kreislinie   mit Radius   um den Nullpunkt, und mittels Kreislinienparametrisierung[Anm 24] kommt:

 

Nun gibt es zu jedem beliebig gegebenem   einen genügend großen Radius  , so dass für den Integranden   auf   gilt, und für das Integral folglich  . Hieraus folgt  , was auf den Widerspruch   stößt.

Beweis mit Methoden der komplexen Geometrie

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Wir fassen   als Abbildung des komplexen projektiven Raums   auf, d. h.  ,  . Die so definierte Abbildung komplexer Mannigfaltigkeiten ist holomorph und damit offen (d. h., das Bild jeder offenen Teilmenge ist offen). Da   kompakt und   stetig ist, ist das Bild   auch kompakt, insbesondere abgeschlossen in  . Damit ist das Bild bereits ganz  , denn   ist zusammenhängend. Insbesondere gibt es ein  , welches auf   abgebildet wird, d. h. eine Nullstelle von  .

Beweis mit Methoden der Differentialtopologie

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Ähnlich wie im obigen Beweis aus der komplexen Geometrie fassen wir   als Selbstabbildung der Sphäre   auf. So ist   (reell) differenzierbar und die Menge der kritischen Punkte ist als Nullstellenmenge der Ableitung endlich, womit die Menge der regulären Werte zusammenhängend ist. Die Kardinalität   des Urbilds eines regulären Wertes   ist außerdem lokal konstant als Funktion in   (  ist injektiv auf Umgebungen von Punkten in  ). Dies zeigt, dass   surjektiv ist, denn reguläre Werte werden somit stets angenommen und kritische Werte werden nach Definition angenommen.[17]

Beweis mittels des Satzes von Rouché für holomorphe Funktionen

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Die Funktion   wird dargestellt als  . Wobei   und  . Dann betrachten wir die Relation  . Es ist offensichtlich, dass ein   existiert, sodass für alle   gilt:

 

Daher folgt aus dem Satz von Rouché, dass die Anzahl der Nullstellen der Funktion   in dem Kreis   gleich der Anzahl der Nullstellen der Funktion   ist. Aber die Funktion   besitzt nur eine  -fache Nullstelle in  . Da   beliebig gewählt wurde, folgt die Behauptung des Fundamentalsatzes.

Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes

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Der Fundamentalsatz der Algebra lässt sich mit Hilfe topologischer Methoden unter Anwendung der Homotopietheorie und des Abbildungsgrades weiter verallgemeinern:[18]

Jede stetige Funktion    , für die eine natürliche Zahl       und weiter eine komplexe Zahl       existieren derart, dass       erfüllt ist, hat eine Nullstelle.

Hieraus folgt der Fundamentalsatz, indem man zu einer komplexen Polynomfunktion             vom Grad       den Leitkoeffizienten als Konstante, also     nimmt.

Literatur

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Originalliteratur und Literatur vor 1932

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Literatur nach 1932

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Weiterführende Literatur zur Theorie formal-reeller und reell abgeschlossener Körper

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Wikibooks: Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra – Lern- und Lehrmaterialien

Anmerkungen

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  1. Siehe Artikel Ungleichung von Argand!
  2. Allerdings vertritt Andreas Speiser im Jahre 1956 in einem Kommentar zum eulerschen Beweis von 1749 die Ansicht, dass dieser Beweis sehr wohl korrekt ist. Siehe: Reinhold Remmert: Fundamentalsatz der Algebra, Kapitel 4 : In: H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, Fr. Hirzebruch, Max Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. In: Grundwissen Mathematik I., 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0, Kapitel 4 , S. 86.
  3. Man beachte hier den Satz von Bolzano-Weierstraß oder Folgerungen daraus.
  4. Gemäß Herbert Schröder („Der Fundamtentalsatz der Algebra […]“, siehe Literatur), Abschnitt 4.3.1 (Seite 79) griff Gauß Beweisansätze von Euler, Lagrange und Laplace auf und vereinfachte sie oder arbeitete sie zu Beweisen aus.
  5. Dies wird ersichtlich durch Betrachtung der Beziehung  
  6. Es lässt sich auch „zu Fuß“ mit Überlegungen aus dem Beweis des Satzes vom primitiven Element argumentieren: Auf der Nullstellenmenge   operiert   transitiv. Denn mit einer Zuordnung   von   ist ein Automorphismus   bestimmt. (Das heißt,   operiert scharf einfach transitiv auf der Nullstellenmenge.) Ist dann  , so wird   abgebildet. Für   und   ist dies die Identität, andernfalls nicht und man beachte, dass   genau einmal in   vorkommt, nämlich mit  . Daraus folgt, dass   irreduzibel und mithin das Minimalpolynom einer jeden seiner Nullstellen   ist. Die Stammkörper   sind untereinander isomorph über   mit   (für jede Wahl von  ). Für die Minimalpolynome   und   von   bzw.   kann nun (wie im Beweis des Satzes vom primitiven Element) aus   geschlossen werden, dass die Polynome   und   nach Auswahl von   nur diese eine Nullstelle teilen und deshalb ihr größter gemeinsamer Teiler   ist, woraus   und somit auch   folgen, also insgesamt  .
  7. Im Übrigen ist die Erweiterung   nur dann normal, wenn die Transposition   einen Normalteiler in   erzeugt, also mit allen Automorphismen vertauschbar ist.
  8. Der Beweis zeigt, dass der Zwischenkörper   für das Paar   in entsprechender Weise ein geeigneter Zwischenkörper ist, so dass der Nachweis   erbracht ist. (Tatsächlich sind diese Zwischenkörper zueinander über   konjugiert.) Aber diese Erkenntnis kann auch der Induktion nach   überlassen bleiben.
  9. Das heißt: Für eine  -Basis   von   setze  .
  10. NB:  . Zur visuellen Motivation: Wenn man sich den Raum   als einen euklidischen Anschauungsraum vorstellen dürfte, dann dürfte man sich   als einen Punkt über dem Punkt  , insbesondere   über dem Nullpunkt   vorstellen, so dass der minimale Abstand von jenem „außerhalb gelegenen, hypothetischen Punkt“   zur komplexen Ebene durch das Lot auf   realisiert wird. Die „Sphären“   wird man sich zunächst als Kreislinien vorstellen wollen, die mutmaßlich auf einen Punkt zusammengezogen sind, doch diese dubiose Verstellung wird krachend widerlegt werden: Aufgrund der Annahme, dass   sei, werden die Punkte zu Kreisen aufgebläht werden, und die Kreise werden unbegrenzt große Kreise ziehen, so dass sie die ganze komplexe Ebene erfassen werden, die sich als Kugel (vom Radius  ) um den fraglichen Punkt wölben müsste – im Widerspruch dazu, dass sie archimedisch metrisiert ist.
  11. Natürlich ist hierbei vor allem