Bewertung (Algebra)

Teilgebiet der Mathematik

Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

BewertungenBearbeiten

Eine Bewertung eines Körpers   ist eine Funktion   in einen angeordneten Körper   mit den Eigenschaften[1][2][3]

  1.   und  
  2.  
  3.  

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion   auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur  . Eine Bewertung   heißt nicht-archimedisch, wenn   für  . Es kann gezeigt werden, dass eine Bewertung genau dann nicht-archimedisch ist, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen)Bearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   eine totalgeordnete abelsche Gruppe und   ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

 

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  •  
  •  
  •  

für alle  .

  heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe  .

Zwei Bewertungen   und   heißen äquivalent, wenn   gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Bewertungen und BewertungsringeBearbeiten

Ein Integritätsbereich   heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element   des Quotientenkörpers von   gilt   oder  .

Ist   ein Bewertungsring mit Quotientenkörper  , so kann man eine Bewertung auf   mit Wertegruppe   definieren:

 

dabei bezeichnet   das Bild von   in  ; die Ordnung auf   ist definiert durch

  für  

Ist umgekehrt   ein bewerteter Körper mit Bewertung  , so ist

 

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung   genannt wird. Die Gruppe   ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von  .

Für einen Körper   gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf   und Bewertungsringen, die in   enthalten sind.

Diskrete BewertungenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

 

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  •  
  •  
  •  

für alle  .   zusammen mit   heißt diskret bewerteter Körper.

BeispieleBearbeiten

  • die  -Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl  
  • die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete BewertungsringeBearbeiten

Die Teilmenge

 

bildet einen Unterring von  , den Bewertungsring von  . Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal  , welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt   ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

 

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von   definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

p-BewertungBearbeiten

Es sei   eine Primzahl.

Die  -Bewertung (auch: die  -adische Bewertung oder der  -Exponent)   einer natürlichen oder ganzen Zahl   ist die größte Zahl  , so dass   noch durch   teilbar ist. Die  -Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl   in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

 

so ist

 

Tritt eine Primzahl   nicht in der Primfaktorzerlegung von   auf, dann ist  .

Man setzt  , weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die  -Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die  -Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der  -Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl   mit   ist also

 

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs   auf, ist   also eine negative Zahl.

Die  -Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

 

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze ZahlenBearbeiten

Eine  -ganze Zahl (auch " -adisch ganze Zahl" oder "für   ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative  -Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch   teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht  -ganz sind, werden manchmal auch " -gebrochen" genannt.

Die Menge aller  -ganzen Zahlen ist ein Unterring von  , der   geschrieben wird.   ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich  .

Ist allgemeiner   eine Menge von Primzahlen, so ist eine  -ganze Zahl eine rationale Zahl, die  -ganz für jedes   ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus   teilbar ist. Die Menge der  -ganzen Zahlen bildet einen Unterring   von  .

Beispiele
  • Für   ist  .
  • Für eine Primzahl   und   ist  , der diskrete Bewertungsring der  -ganzen Zahlen.
  • Für   ist   der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper   der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern  , also Körpern mit einem Absolutbetrag  , zugelassen werden.[4] Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen  -(Links)-Modul   über einem unitären Ring mit Betrag   ersetzt wird. Eine Funktion   heißt dann Norm auf dem Modul  , wenn für alle   und alle Skalare   die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring   der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul   die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Waerden, op. cit., S. 200
  2. Neukirch, op. cit., S. 121
  3. Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 2. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 1988, Kapitel 4. S. 65
  4. Falko Lorenz: Einführung in die Algebra II. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1997, S. 69.