Quotientenkörper

In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel ist der Körper der rationalen Zahlen als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein vom Nullring verschiedener, nullteilerfreier kommutativer Ring. Der kleinste Körper, in den   eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Rings genannt. Gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung   oder auch  .

BemerkungenBearbeiten

Für den Nullring wäre die Menge   in der Definition unten leer. Der Ring muss frei von Nullteilern sein, da ansonsten für   mit   die Multiplikation nicht wohldefiniert wäre (siehe unten). Ist der Ring nicht kommutativ, so entsteht lediglich ein Schiefkörper, der nicht zwangsläufig ein Körper ist.

Jeder Ring obiger Art kann in einen „kleinsten“ Körper eingebettet werden, d. h. alle Körper, in die der Ring eingebettet werden kann, enthalten einen zu diesem kleinsten Körper, dem Quotientenkörper des Rings, isomorphen Teilkörper; insbesondere kann er so auch zu einem Integritätsring erweitert werden, indem der Quotientenkörper gebildet und   zu   adjungiert wird. Das heißt,   ist der kleinste Integritätsring, der   enthält.

Insbesondere erfüllt jeder Integritätsring die geforderten Eigenschaften; allerdings ist ein Einselement, das der Integritätsring zusätzlich fordert, nicht notwendig, um den Quotientenkörper bilden zu können. Dennoch fordern viele Autoren wegen besserer Übersichtlichkeit einen Integritätsring.

Die Konstruktion des Quotientenkörpers ist ein Spezialfall der Lokalisierung.

EigenschaftenBearbeiten

  • Der Quotientenkörper eines Körpers ist bis auf Isomorphie der Körper selbst.
  • Abstrakt definiert man den Quotientenkörper eines Ringes   durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar  , wobei   ein Körper und   ein injektiver Ringhomomorphismus ist, mit der Eigenschaft, dass es für jedes Paar  , wobei   ein Körper und   ein injektiver Ringhomomorphismus ist, genau einen injektiven Körperhomomorphismus   gibt mit  . Anschaulich bedeutet dies, dass man in jeden Körper, in den man   einbetten kann, ebenfalls den Quotientenkörper von   einbetten kann (wobei letztere Einbettung eine Fortsetzung der ersten ist).

Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass   der kleinste Körper ist, der   enthält, und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, also ist es gerechtfertigt, von dem Quotientenkörper zu sprechen.

KonstruktionBearbeiten

Man kann den Quotientenkörper   eines Rings   wie folgt konstruieren:

  • Erkläre auf   die Äquivalenzrelation
 .
  • Üblicherweise schreibt man   für die Äquivalenzklasse von  .
  • Man setzt nun   gleich der Menge der Äquivalenzklassen:  .
  • Definiere auf   die Addition und Multiplikation wie folgt vertreterweise:
 
Insbesondere sind die so definierten Operationen wohldefiniert, also die beiden Seiten von der Wahl der Vertreter unabhängig.
  • Der Ring ist nicht der Nullring, enthält also ein Element  . Das neutrale Element bezüglich der Addition (das Nullelement) ist  , das neutrale Element bezüglich der Multiplikation (das Einselement) ist  . Diese Äquivalenzklassen sind für alle   gleich. Im Falle des Integritätsrings wird meist   gewählt.
  • Für   ist das Inverse bezüglich der Addition durch   gegeben, und falls   ist, ist   invertierbar bezüglich der Multiplikation, wobei das Inverse durch   gegeben ist.
  • Damit ist   ein Körper, insbesondere ist für einen Integritätsring  ,   ein injektiver Ringhomomorphismus, welcher die gewünschte Einbettung vermittelt. Es gilt  .

Für die Wohldefiniertheit der Struktur von   ist die Kürzungsregel in nullteilerfreien Ringen entscheidend, d. h., dass für   aus   stets   folgt.

BeispieleBearbeiten

  • Der Quotientenkörper   des Integritätsrings   der ganzen Zahlen ist der Körper   der rationalen Zahlen.
  • Der Quotientenkörper   des Rings der geraden ganzen Zahlen (ein Ring ohne Eins) ist ebenfalls der Körper  .
  • Der Quotientenkörper   des Polynomrings wird häufig als der rationale Funktionenkörper   definiert.
  • Der Quadratische Zahlkörper   ist der Quotientenkörper der Gaußschen Zahlen  
  • Sei   der Integritätsring der ganzen Funktionen und   der Körper der auf   meromorphen Funktionen. Mit dem Weierstraßschen Produktsatz sieht man, dass man jede auf   meromorphe Funktion als Quotient zweier ganzer Funktionen schreiben kann, folglich ist  .

LiteraturBearbeiten

Zu Anwendungen in der Funktionentheorie:

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.