Nullteiler

Element a eines Ringes, für das es ein Element b≠0 gibt, so dass ab=0

In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein Element , für das es ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element gibt, so dass .

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Ring und  , dann unterscheidet man zwischen:[1][2][3]

  • Linksnullteiler: Es gibt ein Element  , so dass  .
  • Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element  , so dass  .
  • (zweiseitiger) Nullteiler:   ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
  • Linksnichtnullteiler:   ist kein Linksnullteiler.
  • Rechtsnichtnullteiler:   ist kein Rechtsnullteiler.
  • (zweiseitiger) Nichtnullteiler:   ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch reguläres Element genannt.

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen alle sechs Begriffe schlicht zu Nullteiler bzw. Nichtnullteiler zusammen.

Manche Autoren lassen die 0 als Nullteiler nicht zu, sie fordern  . Ansonsten nennt man von 0 verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt. Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement   heißt Integritätsring.

BeispieleBearbeiten

  • Der Ring   der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring   (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält zum Beispiel die Nullteiler   und  , denn   und  .
  • Jeder Körper ist nullteilerfrei, denn jedes von 0 verschiedene Element ist eine Einheit (siehe unten).
  • Der Restklassenring   hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn es ist  .
  • Allgemein ist für eine natürliche Zahl   der Restklassenring   genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn   eine Primzahl ist.
  • Der Ring der reellen 2×2-Matrizen enthält beispielsweise die Nullteiler
 
denn
 
  • Allgemein sind in einem Matrizenring über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen Nullteiler, deren Determinante 0 ist. Hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern.[4]

EigenschaftenBearbeiten

  • In Ringen ist ein Element ungleich Null genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es Links-, Rechts- bzw. zweiseitig kürzbar ist.[5]
  • Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre   invertierbar und  , dann wäre  .
  • In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (  für alle  ) gilt diese Aussage nur so:
Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.
  • Ist   ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes   das Produkt   ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich null. Das Produkt   muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings   im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente   und   einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da   die Einheitsmatrix ist).

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. L. van der Waerden: Algebra I, Springer-Verlag (1971), 8-te Auflage, ISBN 3-540-03561-3, §11, Seite 36
  2. G. Fischer, R. Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner-Verlag (1978), ISBN 3-519-12053-4, Definition 1.1.7
  3. Jens Carsten Jantzen: Algebra , Springer-Verlag 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, Kap. III, §2: Einheiten, Nullteiler
  4. Jens Carsten Jantzen: Algebra , Springer-Verlag 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, Kap. III, §2, Beispiel 2.4. (2)
  5. Kurt Meyberg: Algebra. Band 1. Hanser, München u. a. 1980, ISBN 3-446-13079-9, Lemma 3.2.15