Rationaler Funktionenkörper

Ein Rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

DefinitionBearbeiten

Der rationale Funktionenkörper   ist der Quotientenkörper des Polynomrings   über einem Körper  . Die Konstruktion von   ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente   können also als   mit Polynomen  , wobei   nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und EigenschaftenBearbeiten

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

  • Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom   Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper   unendlich ist. Beispiel: Ist  , so induzieren   und   die gleiche Funktion auf  . Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
  • Zweitens hat in der Regel der Nenner   Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz   definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für   gilt zwar   als rationale Funktion auf   im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung   ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine  -Basis des  -Vektorraums   angeben.

In mehreren VariablenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der rationale Funktionenkörper   in den Variablen   ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings  .

KonstruktionBearbeiten

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen   und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

  ist der Quotientenkörper des Polynomrings  , also des Polynomrings über dem Körper   in der Variable  

Funktionenkörper in der algebraischen GeometrieBearbeiten

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper   algebraisch abgeschlossen und   eine affine Varietät im  . Dann ist das Ideal   ein Primideal im Polynomring  , weshalb der Koordinatenring  , d. h. der Quotientenring  , ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper   des Koordinatenrings   heißt dann Funktionenkörper von  . Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf   und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von   betrachtet werden.

LiteraturBearbeiten