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Unter Adjunktion versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra das Hinzufügen von weiteren Elementen zu einem Körper oder Ring. Bei Körpern spricht man speziell von der Körperadjunktion und bei Ringen entsprechend von der Ringadjunktion.

Adjunktion algebraischer Elemente zu einem KörperBearbeiten

Es sei   ein Körper und   ein irreduzibles Polynom. Dann ist der Faktorring

 

nach dem von   erzeugten Ideal ein Körper.

Das Polynom   hat in   eine Nullstelle, nämlich das Bild   von  . Man sagt deshalb:   entsteht aus   durch Adjunktion einer Nullstelle   von   und schreibt  .

Häufig ist   nur implizit in der Notation enthalten, zum Beispiel ist bei   das Polynom   gemeint. Normiert man den Leitkoeffizienten von   auf  , so ist   durch die Bedingung der Irreduzibilität eindeutig bestimmt. Es findet sich für diesen Fall eine explizite Darstellung des Körpers:  

Ist der Grad von   gleich  , so lassen sich die Elemente von   eindeutig in der Form

  mit   für i = 0,1…,n-1

schreiben.

Der Grad   der Körpererweiterung ist gleich  .

Adjunktion transzendenter Elemente zu einem KörperBearbeiten

Möchte man einen Körper   um ein Element erweitern, das nicht algebraisch sein soll, spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten oder eines transzendenten Elementes  . Der so entstehende Körper   ist definiert als der Quotientenkörper des Polynomringes  . Seine Elemente sind formale rationale Funktionen

 

RingadjunktionBearbeiten

Liegt an Stelle eines Körper allgemeiner ein kommutativer unitärer Ring   vor, so spricht man auch von Erweiterung durch Adjunktion. Die Erweiterungen sind von der Form   mit einer Unbestimmten   und einem Polynom  . Dabei hängt das Verhalten einer derartigen Erweiterung entscheidend davon ab, ob der Leitkoeffizient von   eine Einheit des Ringes ist oder nicht, siehe Ganzes Element.

Beim Übergang von einem Ring   zum Polynomring   spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten.

BeispieleBearbeiten

  •  , der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.
  •  , der Ring der Elemente von  , die die Form
 
haben.
  •  ; Ringhomomorphismen von diesem Ring in einen Ring   entsprechen den  -ten Einheitswurzeln in  .

Siehe auchBearbeiten