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In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine algebraische Varietät ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen beschrieben werden kann.

DefinitionenBearbeiten

Affine VarietätenBearbeiten

Es sei   ein fester, algebraisch abgeschlossener Körper.

Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge eines affinen Raums  , die die Form

 

für eine (endliche) Menge   von Polynomen in   hat. (Hilberts Basissatz sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)

Eine affine Varietät ist eine irreduzible affine algebraische Menge, d. h. eine nichtleere algebraische Menge, die nicht die Vereinigung zweier echter algebraischer Teilmengen ist.[1]

Die algebraischen Teilmengen einer affinen Varietät können als abgeschlossene Mengen einer Topologie aufgefasst werden, der Zariski-Topologie. Eine quasi-affine Varietät ist eine offene Teilmenge einer affinen Varietät.

Für eine Menge   sei   das Verschwindungsideal, also das Ideal aller Polynome, die auf ganz   verschwinden:

 

Der Koordinatenring einer affinen Varietät   ist der Quotientenring

 .

Es werden also solche Polynome miteinander identifiziert, die als Funktion auf   übereinstimmen.

Der Quotientenkörper von   ist der Körper der rationalen Funktionen  .

Projektive VarietätenBearbeiten

In manchen Zusammenhängen zeigen affine Varietäten kein gutes Verhalten, da „Punkte im Unendlichen“ fehlen. Projektive Varietäten sind hingegen vollständig. Diese Tatsache spiegelt sich zum Beispiel im Satz von Bézout wider, der für die Anzahl der Schnittpunkte projektiver ebener Kurven eine exakte Formel liefert, für affine ebene Kurven hingegen nur eine Abschätzung.

Es sei   der  -dimensionale projektive Raum über dem Körper  . Für ein homogenes Polynom   und einen Punkt   ist die Bedingung   unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von  .

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

 

für homogene Polynome   in   hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge.

Auch auf projektiven Varietäten wird die Zariski-Topologie so definiert, dass die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen Teilmengen sind. Eine quasi-projektive Varietät ist eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät.

Für eine projektive algebraische Menge   sei   das Verschwindungsideal, also das Ideal, das durch die homogenen Polynome, die auf ganz   verschwinden, erzeugt wird. Der homogene Koordinatenring einer projektiven Varietät   ist der Quotientenring  .

Morphismen affiner VarietätenBearbeiten

Sind   affine Varietäten, dann ist eine Abbildung   ein Morphismus von   nach  , wenn es eine polynomiale Abbildung   mit   gibt.

Eine Morphismus   ist ein Isomorphismus, wenn es einen Morphismus   mit   gibt.

DimensionBearbeiten

Die Krulldimension einer algebraischen Varietät   ist die größte Zahl  , so dass eine Kette   irreduzibler abgeschlossener Teilmengen von   existiert.

Die Dimension einer affinen Varietät ist gleich der Dimension ihres Koordinatenringes. Die Dimension einer projektiven Varietät ist um Eins kleiner als die Dimension ihres homogenen Koordinatenringes.

SingularitätenBearbeiten

Ein Punkt   einer algebraischen Varietät oder allgemeiner eines Schemas heißt singulär (bzw: ist eine Singularität), wenn der zugehörige lokale Ring nicht regulär ist. Für abgeschlossene Punkte algebraischer Varietäten ist dies äquivalent dazu, dass die Dimension des Zariski-Tangentialraumes größer als die Dimension der Varietät ist.

Als Auflösung der Singularitäten einer Varietät   bezeichnet man eine nicht-singuläre Varietät   mit einem eigentlichen birationalen Morphismus  .

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Definition z. B. bei Hartshorne Algebraic Geometry. Von manchen Autoren wird aber auch auf das irreduzibel in der Definition verzichtet, z. B. in Hazewinkel Encyclopedia of Mathematics, Springer Online Reference. Vergleiche auch Eisenbud Commutative Algebra with applications to algebraic geometry, Springer, S. 32