Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der  -dimensionale projektive Raum über dem Körper   ist definiert als

 

für die Äquivalenzrelation

 .

Die Äquivalenzklasse des Punktes   wird mit   bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom   und einen Punkt   ist die Bedingung   unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von  .

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

 

für homogene Polynome   in   hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d. h., die Polynome   sollen ein Primideal in   erzeugen.

BeispieleBearbeiten

  •   ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung
  (in lexikographischer Ordnung).

InvariantenBearbeiten

  • Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes  , wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal   definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
  • Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von  ).

WeblinksBearbeiten