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Komplexe Mannigfaltigkeiten sind topologische Mannigfaltigkeiten mit Modellraum , deren Kartenwechselhomöomorphismen sogar biholomorph sind. Diese Objekte werden in der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie untersucht. Ihre Definition ist analog zu der Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, jedoch kann im Gegensatz zu den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht jede komplexe Mannigfaltigkeit in den eingebettet werden.

DefinitionenBearbeiten

Sei   ein topologischer Hausdorff-Raum, welcher dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt. Weiterhin sei   eine natürliche Zahl.

Komplexer AtlasBearbeiten

Eine Karte der komplexen Dimension n ist eine offene Teilmenge   zusammen mit einem Homöomorphismus

 .

Eine Karte ist also ein 2-Tupel  .

Ein komplexer Atlas   (der Dimension  ) ist eine Menge solcher Karten, so dass

 

gilt, mit der Eigenschaft, dass für je zwei Karten  ,   die Kartenwechselabbildungen

 

biholomorph sind.

Komplexe StrukturBearbeiten

Eine komplexe Struktur ist ein bezüglich Inklusion maximaler komplexer Atlas. Jeder komplexe Atlas ist in genau einer komplexen Struktur enthalten, nämlich in der Vereinigung aller zu ihm äquivalenten Atlanten. Dabei sind zwei komplexe Atlanten äquivalent, falls ihre Vereinigungsmenge ebenfalls ein komplexer Atlas ist (d. h. wenn alle Kartenwechselabbildungen zwischen den beiden Atlanten biholomorph sind).

Bemerkung: Alternativ kann man eine komplexe Struktur auch als eine Äquivalenzklasse bezüglich dieses Äquivalenzbegriffs definieren.

Komplexe MannigfaltigkeitBearbeiten

Versieht man   nun mit einer solchen komplexen Struktur, so spricht man von einer komplexen Mannigfaltigkeit. Genauer gesagt ist ein 2-Tupel   eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension  , wenn   eine komplexe Struktur der Dimension   auf   ist. Die Karten aus   werden dann auch als Karten der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Holomorphe Funktionen, StrukturgarbeBearbeiten

Eine Funktion   heißt holomorph in  , wenn für eine Karte   mit   die Funktion   eine in   holomorphe Funktion ist. Wegen der obigen Kompatibilitätsbedingung ist diese Bedingung unabhängig von der gewählten Karte. Eine Funktion heißt holomorph auf einer offenen Teilmenge  , wenn sie in jedem Punkt   holomorph ist.

Als Strukturgarbe   der komplexen Mannigfaltigkeit   wird die Garbe der holomorphen Funktionen bezeichnet.   ist ein geringter Raum.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension   kann auch als glatte Mannigfaltigkeit der Dimension   aufgefasst werden.
  • Der Raum der holomorphen Funktion   von M nach   enthält, falls M kompakt ist, nur die konstanten Funktion. Deshalb interessiert man sich dafür, ob eine komplexe Mannigfaltigkeit holomorph separabel ist.
  • Kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten können nicht in den   eingebettet werden.

BeispieleBearbeiten

Fastkomplexe MannigfaltigkeitenBearbeiten

Eine Abschwächung des Begriffs komplexe Mannigfaltigkeit ist der Begriff der fastkomplexen Mannigfaltigkeit. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die Tangentialräume sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit   sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums   die Aufgabe der Abbildung  .

Fastkomplexe StrukturBearbeiten

Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit   ist eine glatte Abbildung   mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung   auf den Tangentialraum zu jedem Punkt   eine bijektive lineare Abbildung ist, die

 

erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit  .)

Fastkomplexe MannigfaltigkeitBearbeiten

Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit   zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Seien   und   zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten mit den jeweiligen fastkomplexen Strukturen   und  . Eine stetig differenzierbare Abbildung   heißt holomorph (oder pseudo-holomorph), wenn der Pushforward   von   mit den fastkomplexen Strukturen von   und   verträglich ist, das heißt, es muss
     
    gelten.
  • Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und durch   für   wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen.
  • Im reell zweidimensionalen (d. h. im komplex eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Dies kann man durch das Lösen der Beltrami-Gleichung zeigen.

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.