Geringter Raum

Ein geringter Raum ist ein Konstrukt aus den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und der Funktionentheorie. Ein geringter Raum besteht aus einem topologischen Raum und einer Menge kommutativer Ringe, deren Elemente man als Funktionen auf den offenen Mengen des Raumes verstehen kann.

DefinitionBearbeiten

 
zur nebenstehenden Definition

Ein geringter Raum ist ein topologischer Raum   zusammen mit einer Garbe   kommutativer Ringe auf  , das heißt:[1][2]

  • Für jede offene Menge   ist ein Ring   gegeben, den man auch als   schreibt.
  • Sind   offene Teilmengen von  , so gibt es einen Ringhomomorphismus  , so dass
    • Für offene Mengen   gilt  ,
    • Für jede offene Menge   gilt  ,
  • und   erfüllt die Garbenbedingungen: Für jede offene Menge   und jede offene Überdeckung   von  , das heißt  , und für Elemente   mit   für alle   gibt es genau ein   mit   für alle  .

Die Homomorphismen   nennt man Restriktionen, da es sich in vielen Anwendungen tatsächlich um Einschränkungen von Abbildungen handelt, wie in den untenstehenden Beispielen klar werden wird. Sind die Garbenbedingungen nicht erfüllt, so liegt nur eine Prägarbe von Ringen vor.

Die Garbe   heißt Strukturgarbe des geringten Raums. Hat man es mit mehreren geringten Räumen zu tun, so kann man zur besseren Unterscheidung   schreiben, um die Zugehörigkeit zum topologischen Raum deutlich zu machen.

Man kann obige Definition auf eine topologische Basis einschränken, indem die Ringe   und Restriktionen   nur für offene Mengen aus der topologischen Basis erklärt und obige Bedingungen nur für Basismengen gefordert werden. Man erhält daraus einen geringten Raum im Sinne obiger Definition, indem man für beliebige offene Mengen   den Ring   als projektiven Limes der   mit   und   aus der gegebenen topologischen Basis definiert.

Sind alle auftretenden Halme   lokal, so spricht man von einem lokal geringten Raum. Dieser Fall ist in der algebraischen Geometrie von großer Bedeutung, wie in den Beispielen gezeigt wird.

BeispieleBearbeiten

  • Es sei   ein topologischer Raum und für jede offene Menge   sei   der Ring der stetigen Funktionen   sowie   die Einschränkungsabbildung  . Dann ist   ein geringter Raum, man nennt ihn die Garbe der Keime stetiger Funktionen.
  • Ein wichtiges Beispiel aus der algebraischen Geometrie ist der wie folgt definierte lokal geringte Raum über dem Spektrum   eines Ringes  .
    • Die Mengen   bilden eine topologische Basis von  , wobei   die nicht nilpotenten Elemente durchläuft; für nilpotente Elemente ist  .
    •   sei die Lokalisierung nach  .
    • Ist  , so gibt es ein   mit   für ein  . Dann ist   wohldefiniert, und erfüllt die Bedingungen eines geringten Raumes.[3]
Diesen geringten Raum nennt man ein affines Schema. Da die Ringe   lokal sind, liegt ein lokal geringter Raum vor.
  • Geringte Räume spielen auch in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher eine wichtige Rolle. Ist   ein Gebiet, so definiert man   als den Ring der holomorphen Funktionen  . Im unten angegebenen Lehrbuch[4] verlangen die Autoren von einem geringten Raum   zusätzlich, dass   hausdorffsch ist und   in der Garbe der Keime stetiger Funktionen enthalten ist. Dort wird der Begriff des geringten Raumes also enger gefasst, ebenso in der Theorie der riemannschen Flächen.[5]

EinschränkungenBearbeiten

Ist   ein geringter Raum und   offen, so erhält man einen geringten Raum  , wenn man für jede offene Menge   (einer topologischen Basis) von   festlegt, dass  , denn   ist ja auch eine offene Menge von  . Man nennt   die Einschränkung von   auf  .

Morphismen zwischen geringten RäumenBearbeiten

 
zur Definition des Morphismus geringter Räume

Ein Morphismus zwischen geringten Räumen   und   ist ein Paar   bestehend aus einer stetigen Abbildung   und einer Familie  , wobei jedes   ein Ringhomomorphismus ist und für offene Mengen   in   das Diagramm

 

kommutativ ist, wobei die Restriktionen in beiden Garben mit   bezeichnet sind. Man sagt dafür kurz, dass die Ringhomomorphismen   mit den Restriktionen verträglich sind.[6]

In der Kategorie der lokal geringten Räume verlangt man zusätzlich, dass die Ringhomomorphismen   lokal sind, das heißt das maximale Ideal von   in das maximale Ideal von   abbilden.

Mit diesen Morphismen erhalten wir die Kategorie geringter Räume. Man kann daher von isomorphen geringten Räumen sprechen. Das ist für manche Begriffsbildungen sehr wichtig. So definiert man ein Schema als einen geringten Raum  , in dem jeder Punkt des topologischen Raumes eine offene Umgebung besitzt, so dass die Einschränkung auf diese Umgebung isomorph zu einem affinen Schema ist.

Ganz ähnlich definiert man einen analytischen Raum als einen geringten Raum, in dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass die Einschränkung darauf isomorph zu einem geringten Raum holomorpher Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit im   ist.[7]

ModulgarbenBearbeiten

Ist   ein geringter Raum, so ist ein  -Modul eine Garbe   abelscher Gruppen über  , so dass jede abelsche Gruppe   die Struktur eines  -Moduls trägt und die Restriktionen   der Garbe   Modulmorphismen sind, das heißt   für alle offenen Mengen  , Ringlemente   und Modulelemente  . Diese Objekte, die man auch Modulgarben nennt, werden in der algebraischen Geometrie und Funktionentheorie untersucht, wobei die kohärenten Garben eine wichtige Rolle spielen.[8]

Topologisch geringte RäumeBearbeiten

Für eine beliebige Kategorie   können wir topologische Räume betrachten, die mit einer  -wertigen Garbe ausgestattet sind. Analog sind Morphismen solcher Räume definiert. Ist   die Kategorie topologischer Ringe, so ergibt sich die Definition topologisch geringter Räume[9]. Ein lokal topologisch geringter Raum ist ein topologisch geringter Raum, dessen Halme (abstrakte) lokale Ringe sind. Ein Morphismus lokal topologisch geringter Räume ist ein Morphismus zwischen zwei lokal topologisch geringten Räumen, sodass die Abbildungen auf den Halmen lokale Ringhomomorphismen sind.[10]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 4: "Presheaves and Sheaves", Absatz "Ringed Spaces"
  2. Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen, Verlag: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (2007), ISBN 3-9403-4405-2, Kapitel 2.12: "Geringte Räme"
  3. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 5: "Affine Schemes"
  4. R. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kapitel V, Absatz A, Definition 1
  5. Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag (2009), ISBN 3-6420-1710-X, Kapitel 4.4.2: "Garben"
  6. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 4: "Affine Schemes", Absatz "Ringed Spaces"
  7. R. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kapitel V, Absatz A, Definition 6
  8. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 7: "Operations on Sheaves, Quasi-coherent and Coherent Sheaves"
  9. Nlab: Topologically ringed space
  10. Stacks project: Tag 0AHY