Basis (Topologie)

Mengensystem offener Mengen

Eine Basis ist in der mengentheoretischen Topologie, einer Grundlagendisziplin der Mathematik, ein Mengensystem von offenen Mengen mit gewissen Eigenschaften. Über Basen lassen sich topologische Räume einfach definieren und klassifizieren. So erfüllen topologische Räume, die abzählbare Basen haben, das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Sie können im topologischen Sinn als „klein“ gelten.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum  , also eine Menge   und ein Mengensystem aus offenen Mengen  . Es gelte die Konvention

 

Eine Menge   heißt eine Basis der Topologie, wenn sich jede offene Menge   als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus   schreiben lässt.

BeispieleBearbeiten

Für jeden beliebigen topologischen Raum   bildet die Topologie selbst eine Basis

 .

Für die triviale Topologie   ist

 

eine Basis. Dies folgt aus der oben angeführten Konvention über die Vereinigung über eine leere Indexmenge.

Für die diskrete Topologie   bilden die Punktmengen eine Basis:

 

Die natürliche Topologie auf   besitzt (per Definition) die Basis

 .

Ebenso besitzt die natürliche Topologie auf einem metrischen Raum   (per Definition) die Basis

 .

Hierbei ist

 

die offene Kugel um   mit Radius  .

EigenschaftenBearbeiten

Ist für jeden Punkt   aus   des topologischen Raumes   eine Umgebungsbasis   aus offenen Mengen gegeben, so bildet die Vereinigung all dieser Umgebungsbasen eine Basis des topologischen Raumes  .

Die Basis eines topologischen Raumes ist nicht eindeutig bestimmt. Dies wird an der Basis für die diskrete Topologie klar: Hier sind einerseits die Punktmengen bereits ausreichend, um eine Basis zu bilden. Andererseits bildet nach dem ersten Beispiel die gesamte Topologie eine Basis, in diesem Falle die Potenzmenge. Diese ist aber fast immer deutlich größer als die Menge, die nur die Punktmengen enthält.

Im Gegensatz dazu bestimmt die Basis eine Topologie eindeutig, sprich ist   eine Basis sowohl von   als auch von  , so ist  .

Konstruktion von Topologien aus einer BasisBearbeiten

Die Tatsache, dass eine Basis die Topologie eindeutig bestimmt, kann zur Konstruktion von Topologien genutzt werden. Dafür erklärt man ein Mengensystem, das gewisse Voraussetzungen erfüllt, zur Basis. Genauer gilt:

Ist   ein beliebiges Mengensystem von Teilmengen von  , für das gilt:
  • Die Vereinigung aller Mengen aus   ist gleich der Menge  .
  • Jeder Schnitt zweier Mengen aus   lässt sich als Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen aus   schreiben.
Dann ist   Basis einer eindeutig bestimmten Topologie auf  .

Die offenen Mengen in der so erzeugten Topologie sind dann genau diejenigen Mengen, die sich als Vereinigung von Mengen aus   darstellen lassen.

BemerkungenBearbeiten

  • Jede topologische Basis von   ist eine Subbasis von  , der Basisbegriff verschärft also den Begriff Subbasis.
  • Der Begriff der topologischen Basis ist nicht zu verwechseln mit der Basis eines Vektorraumes, erstere ist eine Menge offener Mengen, zweitere eine Menge von Vektoren, im Falle topologischer Vektorräume also eine Menge von Punkten. Die Begriffe weisen insofern eine Parallele auf, dass beide die Gesamtstruktur in einem gewissen Sinne erzeugen, allerdings wird für eine topologische Basis in keiner Weise Minimalität gefordert.

Basis der abgeschlossenen MengenBearbeiten

Dual zu dem obigen Basisbegriff, der für die offenen Mengen gilt, lässt sich auch eine Basis der abgeschlossenen Mengen definieren. Dabei wird ein Mengensystem   eine Basis der abgeschlossenen Mengen genannt, wenn sich jede abgeschlossene Menge der Topologie   als Schnitt von Mengen aus   schreiben lässt. Äquivalent dazu sind die folgenden beiden Charakterisierungen:

  • Zu jeder abgeschlossenen Menge   und jedem   aus   existiert ein  , so dass   und  .
  • Jede Vereinigung von zwei Mengen aus   lässt sich als Schnitt von Mengen aus   darstellen und es gilt  .

Basen der abgeschlossenen Mengen treten beispielsweise bei der Charakterisierung von T3a-Räumen auf.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten