Überdeckung (Mathematik)

Mathematik
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In der Mathematik ist eine Überdeckung ein grundlegendes Konzept aus der Mengenlehre. Offene Überdeckungen spielen insbesondere bei der Kompaktheit von topologischen Räumen eine wichtige Rolle.

DefinitionenBearbeiten

ÜberdeckungBearbeiten

Eine Familie   von Teilmengen von   heißt Überdeckung von  , wenn

 

gilt. Die Überdeckung   heißt endlich (oder abzählbar), wenn die Indexmenge   endlich (bzw. abzählbar) ist.

TeilüberdeckungBearbeiten

Sind   und   Überdeckungen von  , so heißt   Teilüberdeckung von  , falls zu jedem   ein   existiert mit  .

VerfeinerungBearbeiten

Sind   und   wieder zwei Überdeckungen von  , so heißt   feiner als  , wenn es zu jedem   einen Index   gibt, so dass   gilt. Das Mengensystem   wird dann Verfeinung oder Verfeinerungsüberdeckung von   genannt.

Quasischrumpfung und SchrumpfungBearbeiten

Eine Verfeinerung, wie oben definiert, heißt eine Quasischrumpfung, wenn sogar   gilt. Gilt zusätzlich   und   für alle  , so spricht man von einer Schrumpfung.

Überdeckungen in topologischen RäumenBearbeiten

Offene/abgeschlossene ÜberdeckungBearbeiten

Eine Überdeckung   eines topologischen Raumes   heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn alle   in   offen (bzw. abgeschlossen) sind.

KompaktheitBearbeiten

Ein topologischer Raum   heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von   eine endliche Teilüberdeckung enthält.

ÜberdeckungseigenschaftenBearbeiten

  • Eine Überdeckung heißt punktendlich, wenn jeder Punkt des Raumes in höchstens endlich vielen Überdeckungsmengen liegt. Ein topologischer Raum heißt metakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine punktendliche Verfeinerung besitzt.
  • Eine Überdeckung heißt lokalendlich, wenn jeder Punkt des Raumes eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Überdeckungsmengen schneidet. Bekanntlich heißt ein topologischer Raum parakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.
  • Eine Überdeckung heißt  -lokalendlich, wenn sie als abzählbare Vereinigung   von Mengenfamilien   geschrieben werden kann, so dass jeder Punkt des Raumes zu jedem   eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Mengen aus   schneidet.
  • Eine Überdeckung heißt  -diskret, wenn sie als abzählbare Vereinigung   von Mengenfamilien   geschrieben werden kann, so dass es zu jedem Punkt und zu jedem   eine Umgebung dieses Punktes gibt, die höchstens eine der Mengen aus   schneidet. Die  -diskreten und  -lokalendlichen Überdeckungen spielen eine wichtige Rolle im Satz von Bing-Nagata-Smirnow.

NormalitätBearbeiten

Ein T1-Raum ist genau dann normal, wenn jede offene lokalendliche Überdeckung eine Schrumpfung besitzt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten