Hauptmenü öffnen

Topologischer Raum

elementarer Gegenstand der Topologie
Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von {1,2,3} dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt {2,3}, unten rechts {2} zur Topologie-Eigenschaft.

Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und „Streben gegen“ aus dem Anschauungsraum auf sehr viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen und mit präziser Bedeutung versehen.

DefinitionBearbeiten

Eine Topologie ist ein Mengensystem   bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge  , die offen oder offene Mengen genannt werden, und die die folgenden Axiome erfüllen:

  • Die leere Menge und die Grundmenge   sind offen.
  • Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Es genügt zu fordern, dass der Durchschnitt von zwei offenen Mengen offen ist.)
  • Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Man nennt dann   eine Topologie auf  , und das Paar   einen topologischen Raum.

GrundbegriffeBearbeiten

Sprechweise: Elemente sind Punkte, die Menge ist ein RaumBearbeiten

Aus dem Anschauungsraum hat sich die Bezeichnung „Punkt“ für die Elemente der Grundmenge und die Bezeichnung „(topologischer) Raum“ für die Menge  , die die topologische Struktur trägt, durchgesetzt. Formal korrekt ist ein topologischer Raum aber das Paar   aus der strukturtragenden Menge   und dem strukturdefinierenden System   (der „Topologie“) von Teilmengen.

Dual: abgeschlossenBearbeiten

Eine Teilmenge des topologischen Raums  , deren Komplement eine offene Menge ist, heißt abgeschlossen. Wenn man die oben formulierte Definition dualisiert und das Wort „offen“ durch „abgeschlossen“ ersetzt (sowie Schnitt und Vereinigung vertauscht), ergibt sich eine gleichwertige Definition des Begriffs „topologischer Raum“ über dessen System abgeschlossener Mengen.

UmgebungenBearbeiten

In einem topologischen Raum hat jeder Punkt   einen Filter   von Umgebungen. Damit lässt sich der intuitive Begriff von „Nähe“ mathematisch fassen. Auch dieser Begriff kann einer Definition des Topologischen Raums zugrunde gelegt werden.

Vergleich von Topologien: gröber und feinerBearbeiten

Auf einer festen Menge   kann man gewisse Topologien   und   miteinander vergleichen: Man nennt eine Topologie   feiner als eine Topologie  , wenn   ist, wenn also jede in   offene Menge auch in   offen ist.   heißt dann gröber als  . Sind die beiden Topologien verschieden, sagt man auch,   sei echt feiner als  , und   sei echt gröber als  .

Es gibt im Allgemeinen auf   auch Topologien   und  , die sich nicht in diesem Sinn vergleichen lassen. Für sie existiert eine eindeutige gemeinsame Verfeinerung, das ist die gröbste Topologie auf  , die beide Topologien umfasst. Dual zu dieser gemeinsamen Verfeinerung ist die durch die Schnittmenge   gegebene Topologie. Sie ist die feinste Topologie, die in beiden Topologien enthalten ist. Durch die Relation „ist feiner als“ werden die Topologien auf einer Menge zu einem Verband.

Diese Sprechweise ist kompatibel mit der „feiner“-Ordnung der Umgebungssysteme als Filter: Ist   ein fester Punkt des Raums, dann ist der von der feineren Topologie   erzeugte Umgebungsfilter   feiner als der von der gröberen Topologie   erzeugte  .

Morphismen: Stetige AbbildungenBearbeiten

Wie bei jeder mathematischen Struktur gibt es auch bei den topologischen Räumen strukturerhaltende Abbildungen (Morphismen). Hier sind es die stetigen Abbildungen: Eine Abbildung   ist (global) stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge   von   eine offene Menge in   ist, formal:  .

Die Isomorphismen heißen hier Homöomorphismen, dies sind bijektive stetige Abbildungen, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Strukturell gleichartige (isomorphe) topologische Räume nennt man homöomorph.

BeispieleBearbeiten

 
Topologische Räume in Bezug zu anderen Nähe definierenden Strukturen

Erzeugung topologischer RäumeBearbeiten

  • Man kann ein beliebiges System   von Teilmengen einer Menge   zu einer Topologie auf   erweitern, indem man fordert, dass (mindestens) alle Mengen aus   offen sind. Damit wird   zur Subbasis einer Topologie auf  .
  • Jeder Teilmenge   eines topologischen Raums   kann eine Unterraumtopologie zugeordnet werden. Dabei sind die offenen Mengen gerade die Schnitte der in   offenen Mengen mit der Teilmenge  .
  • Bei jeder Familie von topologischen Räumen kann das mengentheoretische Produkt der Grundmengen mit der Produkttopologie versehen werden:
    • Bei endlichen Produkten bilden die Produkte der offenen Mengen aus den Faktorräumen eine Basis dieser Topologie.
    • Bei unendlichen Produkten bilden diejenigen Produkte von offenen Mengen aus den Faktorräumen eine Basis, bei denen alle bis auf endlich viele Faktoren jeweils den ganzen betreffenden Raum umfassen.
    • Wählt man in einem unendlichen Produkt als Basis die kartesischen Produkte von offenen Mengen aus den Faktorräumen, dann erhält man die Box-Topologie auf dem Produkt. Diese ist (i. A. echt) feiner als die Produkttopologie.
  • Eine Verallgemeinerung der Beispiele Unterraum- und Produkttopologie ist die Konstruktion einer Initialtopologie. Hier wird die Topologie auf einer Menge   durch die Forderung definiert, dass bestimmte Abbildungen aus   in andere topologische Räume stetig sein sollen. Die Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf   mit dieser Eigenschaft.
  • Eine Quotiententopologie entsteht, indem man in einem topologischen Raum   gewisse Punkte miteinander verklebt (identifiziert). Formal geschieht dies durch eine Äquivalenzrelation, die Punkte des Quotientenraums sind also Klassen von Punkten aus  .
  • Eine Verallgemeinerung des Beispiels Quotiententopologie ist die Konstruktion einer Finaltopologie. Hier wird die Topologie auf einer Menge   durch die Forderung definiert, dass bestimmte Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach   stetig sein sollen. Die Finaltopologie ist die feinste Topologie auf   mit dieser Eigenschaft.

LiteraturBearbeiten

  • Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie. 2. korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07427-9, (Hochschultext).
  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, (Mathematische Leitfäden).
  • Klaus Jänich: Topologie. 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65361-9, (Springer-Lehrbuch).
  • Charles E. Aull, Robert Lowen (Hrsg.): Handbook of the History of General Topology. Band 3. Kluwer Academic, Dordrecht 2001, ISBN 0-7923-6970-X.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, (Springer-Lehrbuch).
  • René Bartsch: Allgemeine Topologie I. Oldenbourg, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-58158-4.