Spektrum eines Ringes

Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ist die Menge aller Primideale in , in Zeichen . Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

DefinitionBearbeiten

Für einen Ring   ist das Spektrum   ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:

  • Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von  .
  • Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen
 
für Elemente   von   gegeben ist.
  • Die Schnitte der Strukturgarbe   über   sind gleich der Lokalisierung  . Insbesondere ist
 .

Lokal geringte Räume, die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.

BeispieleBearbeiten

  • Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
  •   besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen  ; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus   enthalten.
  • Der  -dimensionale affine Raum über einem Ring   ist das affine Schema  . Ist   ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum   (Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).
  • Sei   ein kompakter Hausdorff-Raum und sei   der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf  , dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in  . Man kann auf diese Weise den Hausdorff-Raum   topologisch in den (im Allgemeinen nichthausdorffschen) Raum   einbetten. Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand-Spektrum einer Banachalgebra, wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird.

EigenschaftenBearbeiten

  • Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe   in einem Punkt   ist der lokale Ring  .
  • Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
  • Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus   ist   stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
  • Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form   für einen Ringhomomorphismus  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten