Hilbertscher Nullstellensatz

mathematischer Satz

Der hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der klassischen algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen algebraischen Varietäten her. Er wurde von David Hilbert bewiesen.[1]

Formulierungen des SatzesBearbeiten

Es gibt verschiedene äquivalente Varianten, den Nullstellensatz zu formulieren:

  • Man betrachte[2] den Polynomring   definiert über einem Körper   und sei   der algebraische Abschluss von  . Weiter seien   Polynome in   (wobei die   ein Ideal   aufspannen). Eine Nullstelle dieser Polynome ist ein Element aus  . Wenn jede gemeinsame Nullstelle der Polynome   des Ideals   auch eine Nullstelle von   ist, dann gibt es eine natürliche Zahl  , so dass  , das heißt, es gibt Polynome  , so dass:
 
  • Ist   ein algebraisch abgeschlossener Körper und   ein echtes Ideal, so gibt es ein  , so dass
  für alle  .
  ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von  . In dieser Formulierung ist es eine weitreichende Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra.
  • Ist   ein algebraisch abgeschlossener Körper und   ein Ideal in  , dann gilt:
 
Hierbei bedeutet
  •   das Radikal von  ,
  •   die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von   (wie oben), und
  •   das Ideal aller Polynome, die auf   verschwinden.
Die Inklusion   ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von   ist auch Nullstelle von  .
  • Es sei   ein Körper und   ein maximales Ideal in  . Dann ist der Grad der Körpererweiterung   endlich.
  • Jedes Primideal aus dem Ring   (Polynomring über einem Körper  ) ist der Schnitt der maximalen Ideale, die es enthalten. Das wurde später als definierende Eigenschaft des Jacobson-Rings genommen.[3]
  • Es sei   ein algebraisch abgeschlossener Körper und   ein maximales Ideal in  . Dann ist   für einen Punkt  
  • Es sei   ein Körper und   eine Körpererweiterung, die als  -Algebra endlich erzeugt ist. Dann ist   endlich; insbesondere ist die Erweiterung algebraisch.

BedeutungBearbeiten

Aus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass die Abbildungen   und   für einen algebraisch abgeschlossenen Körper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in   und Radikalidealen in   definieren. Diese lässt sich einschränken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen sowie zwischen Punkten in   und maximalen Idealen.

Affine Varietäten   werden durch die Ideale   definiert und die Nullstellen von   definieren zugehörige (irreduzible affine) algebraische Mengen  . Der Nullstellensatz besagt dann, dass jede nichtleere affine Varietät   einen algebraischen Punkt hat.

Eine effektive Version wurde von W. Dale Brownawell 1987 für Körper der Charakteristik Null und von János Kollár 1988 für beliebige Charakteristik bewiesen. Brownawell gab eine obere Schranke für die Grade der Polynome   (vergleiche die erste Version oben), wobei diese exponentiell von der Anzahl der Variablen   abhängt.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hilbert, Ueber die vollen Invariantensysteme, Mathematische Annalen, Band 42, 1893, S. 313–337
  2. Formulierung des Satzes in V. Danilov, Hilbert's Nullstellen Satz, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  3. Jacobson Ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer